TAILIEUCHUNG - Một số ứng dụng của đa thức đối xứng
Trong chương trình toán ở THCS khái niệm đa thức đã được trình bày. Nhưng thực sự chưa vận dụng được nhiều vào giải quyết một số bài toán. Trong bài này tôi xin giới thiệu một số ứng dụng của đa thức đối xứng vào việc giải quyết một số bài toán đại số sơ cấp một cách đơn giản. | MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA ĐA THỨC ĐỐI XỨNG Ths. Cao Ngọc Chõu Phũng GD&ĐT Can Lộc, Hà Tĩnh Trong chương trỡnh toỏn ở THCS khỏi niệm đa thức đó được trỡnh bày. Nhưng thực sự chưa vận dụng được nhiều vào giải quyết một số bài toỏn. Trong bài này tụi xin giới thiệu một số ứng dụng của đa thức đối xứng vào việc giải quyết một số bài toỏn đại số sơ cấp một cỏch đơn giản. I/ Cơ sở lý thuyết 1/ Định nghĩa: Một đa thức 3 ẩn x,y,z được gọi là đa thức đối xứng nếu nú khụng thay đổi giỏ trị khi ta thay thế một cỏch tuỳ ý cỏc ẩn x,y,z cho nhau. Vớ dụ 1: a, Cỏc đa thức sau là đa thức đối xứng x+y, , x2y+xy2, x2+y2, x5+y5, x2+y2+z2, x3+y3+z3-3xyz,. b, Cỏc đa thức sau khụng phải là đa thức đối xứng: x-y, x2-y2,x3-3y2+2xy,. 2/ Đa thức đối xứng cơ bản a, Với đa thức hai ẩn cú hai đa thức đối xứng cơ bản: b, Với đa thức ba ẩn cú ba đa thức đối xứng cơ bản 3/ Biểu diễn đa thức đối xứng qua đa thức đối xứng cơ bản. a, Đối với đa thức hai ẩn việc biễu diễn tương đối đơn giản, Vớ dụ 2: x2y + xy2=xy(x+y)= , x2+y2=(x+y)2-2xy = , x3+y3=(x+y)3-3xy(x+y) = , b, Đối với đa thức ba ẩn việc biểu diễn phức tạp hơn, nhưng ta cú thể dựng phương phỏp hệ số bất định. +, Đa thức 3 ẩn viết dưới dạng đầy đủ , trong đú hạng tử cú bộ số mũ là với Vớ dụ3: +, Phương phỏp biểu diễn: Chọn hạng tử cao nhất giả sử là cú bộ số mũ là . Viết tất cả cỏc bộ số mũ thoó món và - Giả sử cú dạng Cho x,y,z tuỳ ý ta tỡm được Vớ dụ 4: Biểu diễn đa thức sau: qua cỏc đa thức đối xứng cơ bản. - Hạng tử cao nhất là cú bộ số mũ (3,0,0). - Viết tất cả cỏc bộ số mũ: (3,0,0),(2,1,0),(1,1,1) Giả sử cú: . Cho x=1, y=-2, z=1 ta được . Cho x=1, y=1, z=0 ta được Cho x=1, y=1, z=1 ta được: Từ đú suy ra: Vậy EMBED II/ Một số ứng dụng 1. Chứng minh cỏc hằng đẳng thức Vớ dụ 5: Cho Chứng minh rằng: Giải: Ta cú Mặt khỏc Vậy: hay Đpcm 2. Chứng minh cỏc bất đẳng thức Từ bất đẳng thức Từ BĐT trờn ta vận dụng chứng minh cỏc BĐT khỏc. Vớ dụ 6: Chứng minh cỏc BĐT a, ( với b, với Giải: a, Từ hay đặt ta được . b, Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với . Do dương nờn . Từ cỏc BĐT và ta cú Suy ra tớch đa thức sau thành nhõn tử: Vớ dụ 7: Phõn tớch đa thức thành nhõn tử Giải: Ta cú: 4. Giải phương trỡnh và hệ phương trỡnh Vớ dụ 8: Giải phương trỡnh Giải: Đặt Ta cú: Khi đú ta cú hệ: Từ đú suy ra: hoặc . Vỡ khụng xảy ra, nờn Vậy: ta cú hoặc Nếu: thỡ phương trỡnh cú nghiệm Nếu: thỡ phương trỡnh cú nghiệm Vớ dụ 9: Giải hệ phương trỡnh Giải hệ: Giải: Ta đặt t1= x + y và t2= x . y ta cú hệ : thế t1 = 3 ta cú : do đú x; y là cỏc nghiệm của pt: hoặc từ đú ta cú: hoặc Tài liệu tham khảo [1]. Tạp chớ toỏn học và tuổi trẻ Quyển 2, NXB Giỏo dục, 2006. [2]. Đậu Thế Cấp, Đai số sơ cấp, Nhà xuất bản Giỏo dục, 2004. [3]. Ron Larson and Robert , Houghton Mifflin Company Boston New York.
đang nạp các trang xem trước
