TAILIEUCHUNG - Introduction to Probability phần 9

đã dẫn đến một phương pháp hợp lý cho tiền trợ cấp hàng năm giá. Đây là một trong những ứng dụng nghiêm trọng đầu tiên của lý thuyết xác suất bên ngoài nhà cờ bạc. Mặc dù dự kiến giá trị đóng một vai trò quan trọng trong tất cả các chi nhánh của khoa học, nó vẫn giữ được tầm quan trọng của nó trong các casino. | 400 CHAPTER 10. GENERATING FUNCTIONS N .et 2 - e-t 2 yy1 2Í 2 j -N . sinh t 2 g t y where we have put et 2 e-t 2 sinh t 2 2 . In the same way we find that sinh t 2 gn t gn t t 2 - m M Asinh t 2-n gn t gn t 2vn Now as n TO we know that gn t et2 2 and by L Hopital s rule lim n sinh t 2 n t 2ựn 1 . It follows that and hence that gn t et 2 pn x -i e-x2 2 V 2n as n TO. The astute reader will note that in this sketch of the proof of Theorem we never made use of the hypothesis that the greatest common divisor of the differences of all the values that the Xị can take on is 1. This is a technical point that we choose to ignore. A complete proof may be found in Gnedenko and Cauchy Density The characteristic function of a continuous density is a useful tool even in cases when the moment series does not converge or even in cases when the moments themselves are not finite. As an example consider the Cauchy density with parameter a 1 see Example f x ri Ỉ YO . n 1 x2 If X and Y are independent random variables with Cauchy density f x then the average Z X Y 2 also has Cauchy density f x that is fz x f x . 10 B. V. Gnedenko and A. N. Kolomogorov Limit Distributions for Sums of Independent Random Variables Reading Addison-Wesley 1968 p. 233. . CONTINUOUS DENSITIES 401 This is hard to check directly but easy to check by using characteristic functions. Note first that f to x2 E X JiY X dx so that .2 is infinite. Nevertheless we can define the characteristic function kx t of x by the formula 1 kx t L dx- This integral is easy to do by contour methods and gives us kx t ky t e- T 1 . Hence kx Y t e- T 2 e-2 T 1 and since kz t kx Y t 2 we have kz t e-2 T 2 e- T . This shows that kz kx kY and leads to the conclusions that fz fx fy. It follows from this that if X1 X2 . Xn is an independent trials process with common Cauchy density and if . _ X1 X2 Xn An n is the average of the Xj then An has the same density as do the Xj. This means that the Law of Large Numbers .

• Quản trị kinh doanh
• kinh tế học
• quản trị nhân sự
• định hướng doanh nghiệp
• kiến thức kinh doanh
• thủ thuật kinh doanh
• sách hay cho kinh doanh
• nghệ thuật kinh doanh
• kỹ thuật PR truyền thông
• kỹ thuật quảng cáo
• Tăng trưởng kinh tế
• Nhân tố tăng trưởng kinh tế
• Lý thuyết tăng trưởng kinh tế
• Kinh tế học đại cương
• Tổng quan về kinh tế học
• Nghiên cứu kinh tế học
• Tiếp cận kinh tế học
• Nguyên lý kinh tế học vĩ mô
• Bài giảng nguyên lý kinh tế học vĩ mô
• Bài giảng Kinh tế vi mô
• Kinh tế học vi mô
• Các mô hình kinh tế
• Kinh tế vĩ mô
• Kinh tế học thực chứng
• Kinh tế học chuẩn tắc
• Bài giảng Kinh tế quốc tế
• Kinh tế quốc tế
• Kinh tế học quốc tế
• Quan hệ kinh tế quốc tế
• Giao dịch kinh tế
• Chủ thể kinh tế quốc tế
• Mô hình kinh tế
• Tài liệu kinh tế vi mô
• Nhập môn kinh tế học
• Tổng quan kinh tế học vi mô
• Bài học kinh tế học
• Kinh tế học Kinh doanh
• Bài giảng kinh tế học
• Kinh tế vi mô
• Hệ thống kinh tế
• Bài giảng Kinh tế học quốc tế
• Phương pháp nghiên cứu kinh tế quốc tế
• Nghiên cứu kinh tế quốc tế
• Lý thuyết kinh tế quốc tế
• Kinh tế chính trị học
• Kinh tế chính trị Marxist
• Giảng dạy kinh tế chính trị học
• Nghiên cứu kinh tế chính trị học
• Kinh tế chính trị cổ điển
• Kinh tế chính trị tân cố điển
• Kinh tế chính trị hiện đại
• Kinh tế Đông Á
• Hội nhập kinh tế
• Kinh nghiệm hội nhập
• Kinh tế Việt Nam
• Bài học kinh tế
• Nghiên cứu kinh tế
• kinh tế campuchia
• Kinh tế Đối ngoại
• kinh tế chính trị
• cao học kinh tế
• luận văn kinh tế
• luậm văn chính trị
• thạc sỹ kinh tế
• luận văn
• Giáo trình kinh tế học
• Tài liệu kinh tế học
• Đề thi kinh tế học
• Báo cáo kinh tế học
• Số liệu kinh tế vĩ mô
• Lịch sử các học thuyết kinh tế
• Bài giảng Lịch sử học thuyết kinh tế
• Kinh tế chính trị học tiểu tư sản
• Tiền đề kinh tế xã hội
• Các học thuyết kinh tế của Sismondi
• Các quan điểm kinh tế của Proudon
• Dữ liệu kinh tế vĩ mô
• Mục tiêu của kinh tế vĩ mô
• Chính sách kinh tế vĩ mô
• Mục tiêu kinh tế đối ngoại
• Kinh tế y tế
• Bài giảng Kinh tế y tế
• Chi phí cơ hội
• Nguồn lực kinh tế
• Chức năng kinh tế y tế
• Giáo trình kinh tế học công cộng
• Kinh tế học công cộng
• Nghiên cứu kinh tế hỗn hợp
• Bài giảng kinh tế học công cộng
• Bài giảng kinh tế học vi mô
• Vấn đề kinh tế của doanh nghiệp
• Bài giảng Kinh tế học vĩ mô
• Kinh tế học vĩ mô
• Kinh tế vĩ mô của nền kinh tế mở
• Cán cân thanh toán quốc tế
• Đề thi Kinh tế quốc tế
• Bài thi Kinh tế quốc tế
• Hướng dẫn thi Kinh tế quốc tế
• Luyện thi Kinh tế quốc tế
• Câu hỏi thi Kinh tế quốc tế
• Tài liệu thi Kinh tế quốc tế