TAILIEUCHUNG - Arithmetic in Extensions of Q

What makes work with rational numbers and integers comfortable are the essential properties they have, especially the unique factorization property (the Main Theorem of Arithmetic). However, the might of the arithmetic in Q is bounded. Thus, some polynomials, although they have zeros, cannot be factorized into polynomials with rational coefﬁcients. | The IMO Compendium jroup 2007 The Author s and The IMO Compendium Group Ofympiaif Iraininff Materials compendium com Arithmetic in Extensions of Q Dusan DjukiC Contents 1 General Properties . 1 2 Arithmetic in the Gaussian Integers Z i . 4 3 Arithmetic in the ring Z w . 5 4 Arithmetic in other quadratic rings. 6 1 General Properties What makes work with rational numbers and integers comfortable are the essential properties they have especially the unique factorization property the Main Theorem of Arithmetic . However the might of the arithmetic in Q is bounded. Thus some polynomials although they have zeros cannot be factorized into polynomials with rational coefficients. Nevertheless such polynomials can always be factorized in a wider field. For instance the polynomial x2 1 is irreducible over Z or Q but over the ring of the so called Gaussian integers Z i a bi a b G Z it can be factorized as x i x - i . Sometimes the wider field retains many properties of the rational numbers. In particular it will turn out that the Gaussian integers are a unique factorization domain just like the rational integers Z. We shall first discuss some basics of higher algebra. Definition 1. A number a G C is algebraic if there is a polynomial p x anxn an-1xn-1 a0 with integer coefficients such that p a 0. If an 1 then a is an algebraic integer. Further p x is the minimal polynomial of a if it is irreducible over Z x . it cannot be written as a product of nonconstant polynomials with integer coefficients . Example 1. The number i is an algebraic integer as it is a root of the polynomial x2 1 which is also its minimal polynomial. Number y 2 yC is also an algebraic integer with the minimal polynomial x4 10x2 1 verify . Example 2. The minimal polynomial of a rational number q a b a G Z b G N a b 1 is bx a. By the definition q is an algebraic integer if and only if b 1 . if and only if q is an integer. Definition 2. Let a be an algebraic integer andp x xn .

Bá Lộc 47 7 pdf

Upload

Bấm vào đây để xem trước nội dung

Tải xuống

TÀI LIỆU LIÊN QUAN

Khóa luận tốt nghiệp ngành Kế toán - Kiểm toán: Hoàn thiện tổ chức kế toán thanh toán cho người mua người bán tại Công ty sản xuất thương mại nội thất trường học và văn phòng Anh Đức

72 311 3

BTài liệu toán học, cách giải bài tập toán, phương pháp học toán, bài tập toán học, cách giải nhanh toánài toán tiếp tuyến của đường cong

30 272 0

Bộ đề ôn tập cuối học kì 1 môn Toán lớp 10 và 11 năm học 2020-2021

232 511 10

Luận văn Thạc sĩ Khoa học Toán học: Nguyên lí Dirichlet và ứng dụng giải toán sơ cấp

56 413 15

Sáng kiến kinh nghiệm: Nâng cao kết quả học tập môn toán thông qua sử dụng đồ dùng dạy học và phần mềm toán học vào dạy học ( Toán Hình Học - Chương III - lớp 11 ở trường THPT Cao Lãnh 1 )

21 296 2

CHUYÊN ĐỀ 5: S Tài liệu toán học, cách giải bài tập toán, phương pháp học toán, bài tập toán học, cách giải nhanh toán

5 274 0

Ôn tập môn Toán, khó và dễ

3 349 0

Bộ 15 đề thi học kì 1 môn Toán lớp 9 năm 2020-2021 (Có đáp án)

75 887 50

Bộ 18 đề thi học kì 1 môn Toán lớp 8 năm 2020-2021 (Có đáp án)

90 779 44

Bộ đề thi học kì 1 môn Toán lớp 6 năm 2020-2021 (Có đáp án)

74 428 9

TÀI LIỆU XEM NHIỀU

Một Case Về Hematology (1)

8 461867 55

Giới thiệu :Lập trình mã nguồn mở

14 22642 59

Tiểu luận: Tư tưởng Hồ Chí Minh về xây dựng nhà nước trong sạch vững mạnh

13 10892 529

Câu hỏi và đáp án bài tập tình huống Quản trị học

14 10066 446

Phân tích và làm rõ ý kiến sau: “Bài thơ Tự tình II vừa nói lên bi kịch duyên phận vừa cho thấy khát vọng sống, khát vọng hạnh phúc của Hồ Xuân Hương”

3 9519 104

Ebook Facts and Figures – Basic reading practice: Phần 1 – Đặng Tuấn Anh (Dịch)

249 8281 1125

Tiểu luận: Nội dung tư tưởng Hồ Chí Minh về đạo đức

16 8238 423

Mẫu đơn thông tin ứng viên ngân hàng VIB

8 7864 2220

Đề tài: Dự án kinh doanh thời trang quần áo nữ

17 6686 253

Vật lý hạt cơ bản (1)

29 5770 85

TỪ KHÓA LIÊN QUAN

TÀI LIỆU MỚI ĐĂNG

Đánh giá hao mòn và độ tin cậy của chi tiết và kết cấu trên đầu máy diezel part 3

12 305 0 27-04-2024

Báo cáo khoa học: Loss of kinase activity in Mycobacterium tuberculosis multidomain protein Rv1364c

14 235 0 27-04-2024

Bibliography on Medieval Women, Gender, and Medicine 1980-2009

82 209 0 27-04-2024

extremetech Hacking Firefox phần 7

46 187 0 27-04-2024

Anh văn bằng C-124

8 175 0 27-04-2024

TƯƠNG QUAN GIỮA MÔ HỌC, GIẢI PHẪU VÀ HÌNH ẢNH CỦA CÁC KHỐI U PHẦN PHỤ

3 167 0 27-04-2024

Hướng dẫn sử dụng Quickoffice cho Ipad và Iphone

13 151 0 27-04-2024

HƯỚNG DẪN SỬ DỤNG PHẦN MỀM CAITA part 9

18 130 0 27-04-2024

Diseases of the Liver and Biliary System - part 1

33 124 0 27-04-2024

GIÁO TRÌNH VI XỬ LÝ 1 - CHƯƠNG 5. LẬP TRÌNH CHO VI ĐIỀU KHIỂN 80C51

23 107 1 27-04-2024

TÀI LIỆU HOT

Mẫu đơn thông tin ứng viên ngân hàng VIB

8 7864 2220

Giáo trình Tư tưởng Hồ Chí Minh - Mạch Quang Thắng (Dành cho bậc ĐH - Không chuyên ngành Lý luận chính trị)

152 5735 1368

Ebook Chào con ba mẹ đã sẵn sàng

112 3767 1231

Ebook Tuyển tập đề bài và bài văn nghị luận xã hội: Phần 1

62 5319 1136

Ebook Facts and Figures – Basic reading practice: Phần 1 – Đặng Tuấn Anh (Dịch)

249 8281 1125

Giáo trình Văn hóa kinh doanh - PGS.TS. Dương Thị Liễu

561 3499 643

Tiểu luận: Tư tưởng Hồ Chí Minh về xây dựng nhà nước trong sạch vững mạnh

13 10892 529

Giáo trình Sinh lí học trẻ em: Phần 1 - TS Lê Thanh Vân

122 3684 525

Giáo trình Pháp luật đại cương: Phần 1 - NXB ĐH Sư Phạm

274 4046 515

Bài tập nhóm quản lý dự án: Dự án xây dựng quán cafe

35 4128 480