TAILIEUCHUNG - Chương 7: Một số bài toán số học hay trên VMF

Phần này gồm một số bài toán hay được được thảo luận nhiều trên diễn đàn toán học . Chứng minh rằng với một số nguyên dương n tồn tại một số tự nhiên m | Chương 7 Một số bài toán số học hay trên VMF m3 129 c ac 1 2 5c 2 2c b 136 Phần này gồm một số bài toán hay được thảo luận nhiều trẽn Diễn ĐÀN Toán học. Bạn đọc có thể vào trực tiếp topic của bài toán đó trẽn Diễn đàn Toán học bằng cách click Co tiẽi đe của bài toán đó. m3 Bà i toán . Chùng minh rằng với mọi số nguyên dương n tồn tại một số tự nhiên m sao cho m3 17 .3n . 4 Đầu tiẽn chúng ta đến với chứng minh đề xuất cho bài toán đầu bài. Chứng Ta sẽ chứng minh bài toán bằng quy nạp. Với n 1 ta chọn m 4. Với n 2 ta chọn m 1. Giả sử bài toán đúng đến n k hay 9m 2 N m3 Ta chứng minh rằng đối với trường hợp n k 1 cũng đúng tức là tồn tại một số m0 sao cho m03 1. Đặt m3 17 n 3. 129 130 . m3 n 2 r m3 17 . k II n 1 mod3 m 17 3k mod3 Trường hợp 1 m3 17 mod 3k 1 Xét m 3k-1 3 m3 m23k m32k-1 33k-3 m3 m23k mod 3k 1 Do k 2 1 và 33k 1 . Suy ra m 3k-1 3 17 m3 17 0 m d 3k 1 vi m 3 m2 1 mod 3 2 2 m2 . 1 . Như vậy ở trường hợp 1 ta có m 3k-1 3 1. Trường hợp 2 m3 17 3k mod 3k 1 . Xét m - 3k-1 m3 m23k m32k-1 -33k-3 m3 -m23k mod 3k 1 Do k 2 32k 1 và 33k 1 . Suy ra m - 3k-1 3 17 m3 - m23k 17 3k - m23k 0 mod 3k 1 vi m 3 m2 1 mod 3 1 1 m2 . 1 . Như vậy ở trường hợp 2 ta có m 3k-1 3 1. Tóm lại ta đều tim được số nguyên t 3 mà t3 1. Ta đã chứng minh được vấn đề đúng trong trường hợp n k 1. Theo nguyên lý quy nạp ta có đpcm. Mấu chốt bài toán này là bổ đề sau Diễn đàn Toán HỌC Chuyên đề Số học . m3 131 Bổ ĐỀ Cho a b q là các số nguyên thỏa a q 1 và q 0. Khi ay luôn ton tại k 2 Z sao cho ak . Chứng minh. Ta chứng minh đại diện cho trường hợp ak . Trường hợp còn lại tương tự. Xét A 1 2 3 . q là 1 hệ đầy đủ HĐĐ mod q. Theo tính chất của Hệ thặng dư ta có tập B a 2a 3a . qa cũng là HĐĐ mod q. C a b 2a b 3a b . qa b cũng là HĐĐ mod q. Do đó tồn tại k 2 1 q sao cho ak . Nhận xét. Bài toán đã cho thực chất là yêu cầu tìm 1 số x .

• Toán học
• kiến thức toán học
• phương pháp học toán
• ôn thi toán
• số nguyên dương
• bài toán số học
• Sáng kiến kinh nghiệm Toán học
• Cách sử dụng bất đẳng thức vectơ
• Toán chứng minh bất đẳng thức
• Phương pháp giải toán bất đẳng thức
• Thực trạng giải toán bất đẳng thức
• Phương pháp dạy Toán học
• Dạy học tích hợp
• Giảng dạy kiến thức môn Toán
• Tích hợp kiến thức toán
• Phương pháp giải toán
• Kiến thức Toán trung học phổ thông
• Kiến thức Toán
• Công thức toán học
• Cách giải nhanh bài tập Toán
• Toán trung học phổ thông
• Sáng kiến kinh nghiệm
• Sáng kiến kinh nghiệm Tiểu học
• Sáng kiến kinh nghiệm môn toán
• Bồi dưỡng học sinh năng khiếu toán
• Kiến thức về diện tích tam giác
• Sáng kiến về toán học
• Tóm tắt kiến thức Toán 12
• Kiến thức Toán 12
• Công thức giải nhanh Toán 12
• Giải Toán lớp 12
• Bài toán hình học không gian
• Khoa học giáo dục
• Quản lý giáo dục
• Củng cố kiến thức môn Toán
• Năng lực tự củng cố kiến thức môn Toán
• Kiến thức môn Toán
• Sáng kiến kinh nghiệm THCS
• Giải phân tích đa thức thành nhân tử
• Phương pháp giải toán lớp 8
• Rút gọn phân thức
• Qui đồng mẫu thức các phân thức
• Phương pháp học tập
• Phương pháp dạy học
• Kỹ năng dạy học
• Đổi mới phương pháp dạy học
• Chương trình Toán 12
• Kiến thức môn Toán trung học phổ thông
• Dạy học môn Toán
• Phương pháp tìm nguyên hàm
• Hình học không gian
• Hệ thống kiến thức môn Vật Lí
• Hệ thống kiến thức môn Sinh Học
• Sáng kiến kinh nghiệm THPT
• Sáng kiến kinh nghiệm môn Toán học
• Nhị thức Niu tơn
• Hệ thống hóa kiến thức Toán học
• Rèn kỹ năng giải Toán nhị thức Niu tơn
• Nhị thức Newton
• Các dạng toán trong đề thi đại học
• Rèn kỹ năng giải toán nhị thức Newton
• Kiến thức Hình học
• Toán Hình học
• Toán lớp 6
• Tổng hợp kiến thức Toán THCS
• Tổng hợp kiến thức Hình học THCS
• cẩm nang toán học
• công thức môn tóan
• toán cấp 3
• toán lóp 11
• toán 12
• đố vui toán học
• sổ tay toán học
• phương pháp dạy học toán
• bài tập toán
• bất đẳng thức
• luyện thi toán
• căn bản bất đẳng thức
• căn bản toán học
• Cơ sở toán học
• Kiến thức toán tiểu học
• Sách giáo khoa
• Yếu tố thực tiễn
• Thiết kế chương trình
• Hình học cao cấp
• Kiến thức toán học phổ thông
• Sinh viên sư phạm toán
• Toán cao cấp
• Phép đối xứng qua m phẳng
• Phương pháp dạy học kiến tạo
• Dạy học kiến tạo
• Mạch kiến thức số học
• Chương trình môn toán lớp 3
• Dạy học giải bài toán tương quan
• Dạy học giải bài toán hồi quy
• Phát triển năng lực vận dụng kiến thức toán học
• Năng lực vận dụng kiến thức toán học của học sinh
• Ứng dụng toán học vào thực tiễn
• Sáng kiến kinh nghiệm toán Tiểu học
• Nâng cao chất lượng dạy toán Tiểu học
• Phương pháp dạy toán có lời văn
• Kiến thức cơ bản về diện tích hình tam giác
• Kinh nghiệm bồi dưỡng học sinh giỏi Toán
• Hoạt động ngoại khóa Toán học
• Rrèn luyện kĩ năng vận dụng Toán học
• Toán lớp 7
• Toán tỷ lệ thức
• Sáng kiến dạy học môn Toán
• Sáng kiến kinh nghiệm Toán
• Sáng kiến kinh nghiệm lớp 7
• Đề thi sân chơi kiến thức môn Toán
• Đề thi Toán lớp 7
• Bài tập Toán 7
• Ôn luyện kiến thức Toán 7
• Ngữ pháp Toán 7
• Kiến thức trọng tâm Toán 12
• Ôn thi THPT QG môn Toán
• Ôn tập kiến thức Toán 12
• Bài tập Toán lớp 12
• Sáng kiến kinh nghiệm môn toán lớp 5
• Sáng kiến kinh nghiệm môn toán Tiểu học
• Phương pháp dạy toán hình lớp 5
• Kinh nghiệm dạy toán hình cho Tiểu học