Đang chuẩn bị nút TẢI XUỐNG, xin hãy chờ
Tải xuống
Phần này gồm một số bài toán hay được được thảo luận nhiều trên diễn đàn toán học . Chứng minh rằng với một số nguyên dương n tồn tại một số tự nhiên m | Chương 7 Một số bài toán số học hay trên VMF 7.1 m3 17.3n 129 7.2 c ac 1 2 5c 2 2c b 136 Phần này gồm một số bài toán hay được thảo luận nhiều trẽn Diễn ĐÀN Toán học. Bạn đọc có thể vào trực tiếp topic của bài toán đó trẽn Diễn đàn Toán học bằng cách click Co tiẽi đe của bài toán đó. 7.1 m3 17.3n Bà i toán 7.1. Chùng minh rằng với mọi số nguyên dương n tồn tại một số tự nhiên m sao cho m3 17 .3n . 4 Đầu tiẽn chúng ta đến với chứng minh đề xuất cho bài toán đầu bài. Chứng nii.h Ta sẽ chứng minh bài toán bằng quy nạp. Với n 1 ta chọn m 4. Với n 2 ta chọn m 1. Giả sử bài toán đúng đến n k hay 9m 2 N m3 17.3k Ta chứng minh rằng đối với trường hợp n k 1 cũng đúng tức là tồn tại một số m0 sao cho m03 17.3k 1. Đặt m3 17 3k.n n 3. 129 130 7.1. m3 17.3 n 2 r m3 17 2.3k . k II n 1 mod3 m 17 3k mod3 Trường hợp 1 m3 17 2.3k mod 3k 1 Xét m 3k-1 3 m3 m23k m32k-1 33k-3 m3 m23k mod 3k 1 Do k 2 32k-1.3k 1 và 33k 3.3k 1 . Suy ra m 3k-1 3 17 m3 m2.3k 17 2.3k m2.3k 0 m d 3k 1 vi m 3 m2 1 mod 3 2 m2.3 2 m2 .3k.3k 1 . Như vậy ở trường hợp 1 ta có m 3k-1 3 17.3k 1. Trường hợp 2 m3 17 3k mod 3k 1 . Xét m - 3k-1 m3 m23k m32k-1 -33k-3 m3 -m23k mod 3k 1 Do k 2 32k 1.3k 1 và 33k 3.3k 1 . Suy ra m - 3k-1 3 17 m3 - m23k 17 3k - m23k 0 mod 3k 1 vi m 3 m2 1 mod 3 1 m2.3 1 m2 .3k.3k 1 . Như vậy ở trường hợp 2 ta có m 3k-1 3 17.3k 1. Tóm lại ta đều tim được số nguyên t 3 mà t3 17.3k 1. Ta đã chứng minh được vấn đề đúng trong trường hợp n k 1. Theo nguyên lý quy nạp ta có đpcm. Mấu chốt bài toán này là bổ đề sau Diễn đàn Toán HỌC Chuyên đề Số học 7.1. m3 17.3n 131 Bổ ĐỀ 7.1- Cho a b q là các số nguyên thỏa a q 1 và q 0. Khi ay luôn ton tại k 2 Z sao cho ak b.q. Chứng minh. Ta chứng minh đại diện cho trường hợp ak b.q. Trường hợp còn lại tương tự. Xét A 1 2 3 . q là 1 hệ đầy đủ HĐĐ mod q. Theo tính chất của Hệ thặng dư ta có tập B a 2a 3a . qa cũng là HĐĐ mod q. C a b 2a b 3a b . qa b cũng là HĐĐ mod q. Do đó tồn tại k 2 1 q sao cho ak b.q. Nhận xét. Bài toán đã cho thực chất là yêu cầu tìm 1 số x .
