TAILIEUCHUNG - Đề tài " Sur le changement de signe des sommes de Kloosterman "

Combining sieve methods with automorphic form theory and techniques from -adic cohomology, we prove that the sign of Kloosterman sums Kl(1, 1; n) changes infinitely often as n ranges over the squarefree integers having all their prime factors larger than n1/ . 1. Introduction Soient a, b et n trois entiers, avec n 1. On rappelle que la somme de Kloosterman Kl(a, b; n) est d´finie par la formule e ax + bx Kl(a, b; n) = exp 2πi . n x mod n (x,n)=1 (la notation x indique l’inverse de x modulo n). Rappelons que c’est un nombre r´el, qui,. | Annals of Mathematics Sur le changement de signe des sommes de Kloosterman By E. Fouvry and Ph. Michel Annals of Mathematics 165 2007 675 715 Sur le changement de signe des sommes de Kloosterman By E. FouvRy and Ph. Michel Abstract Combining sieve methods with automorphic form theory and techniques from Cadic cohomology we prove that the sign of Kloosterman sums Kl 1 1 n changes infinitely often as n ranges over the squarefree integers having all their prime factors larger than n1 23 9. 1. Introduction Soient a b et n trois entiers avec n 1. On rappelle que la somme de Kloosterman Kl a b n est definie par la formule Kl a b n exp 2niax bx . x mod n x n 1 la notation x indique l inverse de x modulo n . Rappelons que c est un nombre reel qui pour n p est toujours non nul la lettre p est systematiquement reservee aux nombres premiers et qui verifie la majoration de Weil consequence de la resolution de l hypothese de Riemann pour les courbes sur les corps finis Kl a b p 2 a b p 1 2p1 2 la majoration des sommes de Kloosterman modulo pk k 2 qu on peut attribuer a divers auteurs par exemple Sa Es 1 I Í2 a b pk 2p2 si p 2 ou si p 2 et k 4 iKi a bp i 12 a 2k 1sip 2e tk 5 la multiplicativite croisee consequence du theoreme chinois Kl a b mn Kl am bm n Kl an bn m pour m n 1. En mettant ensemble les relations et on obtient la majoration generate suivante Kl a b n I 2v n a b n 2n2 si 25 ị n 676 É. FOUVRY AND PH. MICHEL oil v n est le nombre de facteurs premiers distincts de n et d autre part si 25 divise n le facteur n2 doit etre remplace par 2n 2. Nous noterons aussi Q n le nombre de facteurs premiers de 1 entier n comptes avec multiplicite et p est l habituelle fonction de Mobius. Quoique ces sommes soient une des cles de voute de l actuelle theorie ana-lytique des nombres elles sont a beaucoup de points de vue tres mysterieuses. Nous etudions dans cet article le signe des sommes de Kloosterman quand l un des parametres a b ou n varie. La facon la .

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