TAILIEUCHUNG - Giáo trình toán học - Tập 3 P2

Các yếu tố được nghiên cứu trong giải tích thường mang tính chất "động" hơn là tính chất "tĩnh" như trong đại số. Giải tích (tiếng Anh: mathematical analysis) là ngành toán học nghiên cứu về các khái niệm giới hạn, đạo hàm, tích phân. Nó có vai trò chủ đạo trong giáo dục đại học hiện nay. | 24 Chương 1 Không gian vectơ định chuẩn 4 Mệnh đề 2 Cho E là một K-kgvđc N N là hai chuẩn trên E. Hai tính chất sau đây tương đương với nhau i 3 e Vxe E V x a N x ii Mọi dãy xn hội tụ đến 0 trong E N cũng hội tụ đến 0 trong Chứng mình i ii Giả sử tồn tại a e R sao cho Vxe E N x a Nự . Cho x là một dãy hội tụ đến 0 ưong N tức là sao cho N x 0. Vì Vn e ỉ i 0 A x aN x nên ta suy ra N x 0 tức là x hội tụ đến 0 trong E N . ii i Ta chúng minh mệnh đề phàn đảo tức là khồng i không ii Giả thiết 3cr e K Hxe E N x aNịx Áp dụng giả thiết này cho a - n với mọi n thuộc N ta suy ra rằng tồn tại u e E sao cho nN u ỵ Nói riêng Vne B M 0. Với mọi n thuộc N ta ký hiệu x -7 - M . -JnN u Một mặt W xJ - -r - 0 vậy CQ hội tụ đến 0 trong E N . yỊn Mặt khác thì AT x ỉ Jn N ưa dođó xn không hội tụ đến 0 trong E N . Nhận xét Cho E là một IK-kgv N N là hai chuẩn trên E ỡ tương ứng ữ là tôpô của E N tương ứng jV xem ỉ phẩn tổng quát hóa . Ta có N N o o ơ. Thực vây 1 Giả thiết N IVtổn tại a 6 sao cho Vx e E aN x í N x JV x . Cho fie o a e Í1 tổn tại r e K sao cho BN a r CL Q . Điếu này chứng tỏ rằng Q là lân cận cùa mọi điểm thuộc E N do đó n e ữ . Quan hệ bao hàm này chứng tỏ ỡ c Bằng cách hoán vai trò của í và ta thu được bao hàm thức ngược lại và cuối cùng là e ơ . Các khái niệm tôpô trong không gian vectơ đính chuẩn 25 2 Ngược lại giả thiết ỡ ơ . Ta có Bw 0 1 e Ế c ơ vây BÌữ l ẼV fjr 0 . Như thế tồn tại p e sao cho Bfự . 0 p Q Bw 0 1 . Với mọi X thuộc - 0 ta có N X 1 p -77 -X e BN. 0 p c B1V 0 1 t27V x 2 2N X ví 1 N jr N x . t2N x J 2 Điều này chứng tỏ rằng tồn tại ct e ữ Ý sao cho Vx e aN x V x . Bằng cách hoán vị các vai trò của N và N la chứng tỏ được sự tồn tại của p e ĨR sao cho Vx e V x Ịì N x . Cuối cùng N và N tương đương với nhau. Xem thêm Mệnh đề 2. Bài tâp 0 Cho ữ b e E2 thỏa mãn a h E C a ft ffl I. ịj. I. 2 I là những chuẩn trtn E xác định bởi 1 1 11 r I-M H í r I Wi2 UL p xem 1 . a Chứng minh V e Ê b Chúng minh răng . ỊỊj lị 2 II. từng đôi .

• Toán học
• Tuyển tập giáo trình toán hoc
• Giáo trình toán giải tích
• toán hình học
• toán đại số
• Jean – Marie Monier
• giáo trình toán học
• tài liệu học môn toán
• phương pháp dạy học toán
• đề thi tuyển sinh lớp 10
• ôn tập môn toán