TAILIEUCHUNG - Basic Mathematics for Economists - Rosser - Chapter 14

14 Exponential functions, continuous growth and differential equations Use the exponential function and natural logarithms to derive the final sum, initial sum and growth rate when continuous growth takes place. Compare and contrast continuous and discrete growth rates. | 14 Exponential functions continuous growth and differential equations Learning objectives After completing this chapter students should be able to Use the exponential function and natural logarithms to derive the final sum initial sum and growth rate when continuous growth takes place. Compare and contrast continuous and discrete growth rates. Set up and solve linear first-order differential equations. Use differential equation solutions to predict values in basic market and macroeconomic models. Comment on the stability of economic models where growth is continuous. Continuous growth and the exponential function In Chapter 7 growth was treated as a process taking place at discrete time intervals. In this chapter we shall analyse growth as a continuous process but it is first necessary to understand the concepts of exponential functions and natural logarithms. The term exponential function is usually used to describe the specific natural exponential function explained below. However it can also be used to describe any function in the format y Ax where A is a constant and A 1 This is known as an exponential function to base A. When x increases in value this function obviously increases in value very rapidly if A is a number substantially greater than 1. On the other hand the value of Ax approaches zero if x takes on larger and larger negative values. For all values of A it can be deduced from the general rules for exponents explained in Chapter 2 that A0 1 and A1 A. Example Find the values of y Ax when A is 2 and x takes the following values a b 1 c 3 d 10 e 0 f g -1 and h -3 1993 2003 Mike Rosser Solution a A0 5 b A1 2 c A3 8 d A10 1024 e A0 1 f A-0 5 g A-1 h A-3 The natural exponential function In mathematics there is a special number which when used as a base for an exponential function yields several useful results. This number is to 7 dp and is usually represented by the letter e . You should be able to get this

• Kế toán - Kiểm toán
• quản lí công ty
• kế hoạch kinh doanh
• quản lí tài chính
• kinh tế học
• nghiên cứu kinh tế
• luận văn
• thực trạng quản lí Công ty may Đáp Cầu
• giai đoạn quản lí dự án
• ban quản lí dự án
• quản lý doanh nghiệp
• quy phạm quản lý
• quản lí dự án
• sơ đồ tổ chức
• chức năng của các phòng ban
• công trình điện miền Bắc
• Tổng công ty truyền tải điện quốc gia
• Công ty Cổ phần Xây dựng Đa Ngành Hà Nội
• cơ cấu tổ chức
• bộ máy quản lý
• lý luận chung về bộ máy quản lí
• thực trạng tổ chức bộ máy quản lí
• giải pháp hoàn thiện cơ cấu tổ chức quản lí
• tiểu luận nghiên cứu đề tài
• Cơ sở dữ liệu
• hướng đối tượng
• Quản Lí Nhân Sự
• công ty máy tính
• hệ thống quản lí
• luồng thông tin quản lí
• Kỹ năng quản lí nhân viên
• kỹ năng quản lí hiệu quả
• kinh nghiệm quản lí
• Quản lý nhân viên đi làm muộn
• kỷ luật công ty
• văn hóa công ty
• uận văn quản lí
• vốn lưu động
• quản lí vốn lưu động
• công tác quản lý
• hiệu quả sử dụng vốn
• hoạt động kinh doanh
• Công ty cơ giới và xây lắp số 13
• luận văn quản lí
• công ty thương mại –xây dựng Sóc Sơn
• Khóa luận tốt nghiệp Quản trị doanh nghiệp
• Quản trị doanh nghiệp
• Hiệu quả quản lí
• Nguồn nhân lực
• Công ty TNHH Miki industry Việt Nam
• Tài chính doanh nghiệp
• Mô hình Tổng công ty nhà nước
• Đổi mới doanh nghiệp nhà nước
• Doanh nghiệp nhà nước
• Chức năng quản lí kinh doanh
• Mô hình công ty mẹ
• Công ty con
• luận văn tốt nghiệp
• quản lí tiền lương
• kinh tế thị trường
• Công ty KTCT thuỷ lợi La Khê
• quản lí tiền công
• kinh tế tổng hợp
• Luận văn Thạc sĩ Kinh tế
• Quản trị kinh doanh
• Xây dựng hệ thống quản lí
• Hệ thống quản lí tích hợp
• Hệ thống quản lí môi trường
• Tổ chức tiêu chuẩn hóa quốc tế
• báo cáo quản lý vốn
• vốn cố định
• quản lí vốn cố định
• kế hoạch sản xuất
• vai trò của vốn
• sản xuất kinh doanh
• công ty quàn lý vốn
• công ty xây lắp 13
• luận văn báo cáo
• hệ thống thông tin
• quản lý kho
• quản lý vật tư
• hệ thống thông tin quản lí
• công ty ô tô 1 5
• Báo cáo thực tập nghề nghiệp
• Quản lí sản xuất
• Bảo quản chuối
• Sản xuất chuối
• Thu hái chuối
• Công ty Huy Long An
• Khóa luận tốt nghiệp
• Khóa luận tốt nghiệp Quản trị kinh doanh
• Quản lí hàng tồn kho
• Công ty Dược phẩm Vạn Ngân
• công ty Cơ Điện Đo lường
• công ty Tự động hóa DKNEC
• quản trị hoạt động bán hàng
• kinh tế quản lí
• thị trường marketing
• thị trường kinh doanh
• Công ty xây dựng II Thanh Hoá
• luận văn mẫu
• đề án tốt nghiệp
• luận văn kinh tế
• bộ máy quản lí
• hoàn thiện cơ cấu
• công ty liên doanh
• Thực trạng nhân sự và một số giải pháp cải thiện công tác quản lí nhân sự tại công ty TNHH Đỉnh Vàng
• nghiệp vụ kế toán
• giá thành sản phẩm
• chi phí sản xuất
• kế toán tập hợp chi phí
• Khoa học pháp lí
• Hội đồng quản trị
• Quản trị công ty
• Luật Doanh nghiệp
• Kiểm soát quản trị công ty
• Hệ thống thông tin kinh tế
• Quản lí bán hàng
• Thiết kế hệ thống thông tin quản lí bán hàng
• Phần mềm quản trị doanh nghiệp
• luận văn công nghệ thông tin
• web quản lí
• quản li bán hàng
• phần mền quản lí bán hàng
• form tìm kiếm hóa đơn
• Báo cáo thực tập tốt nghiệp
• Tài chính Ngân hàng
• Công tác Kế toán
• Kế toán tiền lương
• Quản lí lương
• Quản lí hiệu quả tài chính doanh nghiệp