TAILIEUCHUNG - Một số bài toán giải bằng định lý Lagrange

Bài toán 1: Cho f(x) xác định và có đạo hàm bậc hai liên tục và không đồng nhất bằng 0 trên bất kỳ đoạn nào của R. Biết rằng đồ thị hàm số y = f(x) cắt đường thẳng ax + by + c = 0 tại 3 điểm phân biệt. Chứng minh rằng xo thuộc R sao cho f'(xo) = 0 và f'(x) đổi dấu qua x = xo | Trường THPT Yên Phong 1 Bắc Ninh Bùi Văn Đắc MỘT số BÀI TOÁN Được GIẢI BANG ĐỊNH LÍ LAGRANGE Bài toán 1 Cho f x xác định và có đạo hàm bậc hai liên tục và không đổng nhất bằng 0 trên bất kỳ đoạn nào của R. Biết rằng đổ thị hàm số y f x cắt đường thẳng ax by c 0 tại 3 điểm phân biệt. CMR tổn tại x0 G R sao cho f x0 0 và f x đổi dấu qua x x . LG Vì đường thẳng ax by c 0 cắt đổ thị y f x tại 3 điểm phân biệt nên b 0. Ta đặt g x f x ax c thì phương trình g x 0 có 3 nghiệm phân biệt. b Do f x g x và f x có đạo hàm bậc hai liên tục và không đổng nhất bằng 0 trên bất kỳ một khoảng nào của R nên g x cũng có tính chất đó. Theo định lí Rolle thì tổn tại 2 nghiệm x1 x2 với x1 x2 của phương trình g x 0 sao cho g x 0 với x G x1 x2 và x0 G x1 x2 sao cho g x0 0. Ta thấy g x đổi dấu qua x0 vì nếu trái lại thì g x 0 hoặc g x 0 trong x1 x2 từ đó dẫn đến g x hoặc đổng biến hoặc nghịch biến trong x1 x2 điều này không thể xảy ra. Suy ra f x0 0 và f x đổi dấu qua x0 đpcm . Bài toán 2 Cho hàm số f x khả vi vô hạn trên R và thoả mãn các điều kiện a . M 0 I f n x M x G R n G N. b . f I 1 0 n G N . è n 0 CMR f x 0 x G R. LG áp dụng định lí Rolle trên các đoạn a1 a2 a2 a3 . ta dễ chứng minh được khẳng định sau Giả sử f x có đạo hàm trên R. Giả thiết rằng tổn tại dãy đơn điệu an n 1 hội tụ đến x0 và thoả mãn điều kiện f an 0 n G N. Khi đó tổn tại dãy đơn điệu a n n 1 hội tụ đến x0 và thoả mãn điều kiện f a n 0 n G N. Sử dụng kết quả này cho hàm f x với an n G N sau đó áp dụng tiếp với các hàm f x f x . ta được f 0 lim f 11 ì 0 x èn0 f 0 lim f a n 0 x f 0 lim f a n 0 x Như vậy f n 0 0 n G N. Khai triển Taylor của hàm f x tại x 0 ta được f x 0 x G R đpcm . Bài toán 3 Cho hàm số f x khả vi trên 0 1 và thoả mãn điều kiện f 0 0 f 1 1 0 f x 1 x G R. Trường THPT Yên Phong 1 Bắc Ninh Bùi Văn Đắc CMR tổn tại a b G 0 1 a b sao cho f a .f b 1. OLYMPIC New - York -76 LG Xét hàm số g x f x x - 1. Ta thấy g x khả vi trên 0 1 do g 0 -1 g 1 1 nên c G 0 1 sao cho g c 0. Suy ra f c c -1 0 hay f c 1 - c. Theo .

• Toán học
• phương pháp giải toán
• định lý Lagrange
• phương pháp larange tìm cực trị
• cách giải toán
• ứng dụng định lý larange
• Phương pháp giải toán Vật Lý 12
• Toán Vật Lý 12
• Phương pháp giải toán dao động điều hòa
• Phương pháp giải toán cộng hưởng cơ học
• Phương pháp giải toán truyền sóng cơ học
• Phương pháp giải toán giao thoa sóng
• Phương pháp giải toán đại số
• Phương pháp giải toán giải tích
• Giải toán giải tích
• Giải toán đại số
• Toán đại số
• Toán giải tích
• Bất phương trình
• Bất đẳng thức đại số
• Ứng dụng của đạo hàm
• Hệ phương trình mũ
• Giải toán trung học phổ thông
• Phương pháp giải toán trung học phổ thông
• Sử dụng phương pháp điều kiện
• Phương pháp lượng giác
• Phương pháp vectơ
• Phương pháp giải toán giải tích tổ hợp
• Giải toán giải tích tổ hợp
• Giải tích tổ hợp
• Phương pháp giải toán xác suất
• Giải toán xác suất
• Bài tập giải toán giải tích tổ hợp
• Phương pháp giải toán giải tích 12
• Giải toán giải tích 12
• Giải tích 12
• Phân dạng toán giải tích
• Ứng dụng đạo hàm
• Vẽ đồ thị của hàm số
• Hàm số logarit
• Phương pháp giải nhanh 999
• Giải nhanh 999 bài toán chọn lọc
• Bài tập Toán học
• Toán lượng giác
• Luận văn Thạc sĩ Khoa học ngành Toán sơ cấp
• Phương pháp toán sơ cấp
• Giải các bài toán không mẫu mực
• phương pháp quy nạp toán học
• Phương pháp phản chứng
• Phương pháp suy luận
• Phương pháp bảng
• Phương pháp sơ đồ
• Phương pháp đồ thị
• Giải phương trình
• TÍnh xác suất
• Toán cao cấp
• Phương pháp lập trình
• Phương pháp giải Toán cao cấp
• Phương pháp giải toán đa chiều
• Phương pháp giải toán đa biến
• Sách Toán học
• Tài liệu ôn tập môn Toán
• Phương pháp giải phương trình
• Phương pháp giải hệ phương trình
• giải bài toán bằng phương pháp véc tơ
• Phương trình vô tỉ có tham số
• Trắc nghiệm phương trình vô tỉ
• Giải hệ phương trình
• Hệ bất phương trình
• Phương pháp giải hệ bất phương trình
• Bài toán hệ phương trình
• Tính chất nghiệm
• Tính chất tham số
• Luận văn Thạc sỹ Toán học
• Phương pháp giải phương trình bất phương trình
• Phương trình bất phương trình chứa logarit
• Giải bài tập Toán 9
• Giải bài tập SGK Toán 9
• Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn
• Giải bài tập SGK Toán 9 trang 16
• Bài tập giải hệ phương trình
• Giải hệ phương trình bằng phương pháp thế
• Giải bài tập SGK Toán 9 trang 19
• Giải bài tập hệ phương trình
• Giải hệ phương trình bằng phương pháp cộng đại số
• Phương pháp giải toán Hình giải tích
• Giải toán Hình giải tích
• Hình giải tích
• Hình giải tích trong không gian
• Giải toán Hình giải tích trong không gian
• Bài toán mặt cầu
• Bài toán hình học không gian
• Phương pháp tư duy giải nhanh toán
• Giải nhanh toán trắc nghiệm
• Phương pháp giải nhanh phần mũ
• Bài toán logarit
• Phương pháp giải nhanh phần nguyên hàm
• Tư duy giải nhanh phần số phức
• Bài toán Sinh học
• Phương pháp giải bài toán Sinh học
• Giải bài toán bằng máy tính cầm tay
• Phương pháp giải bài tập Sinh học