TAILIEUCHUNG - Đề thi Olympic sinh viên thế giới năm 2005

" Đề thi Olympic sinh viên thế giới năm 2005 " . Đây là một sân chơi lớn để sinh viên thế giới có dịp gặp gỡ, trao đổi, giao lưu và thể hiện khả năng học toán, làm toán của mình. Từ đó đến nay, các kỳ thi Olympic sinh viênthế giới đã liên tục được mở rộng quy mô rất lớn. Kỳ thi này là một sự kiện quan trọng đối với phong trào học toán của sinh viên thế giới trong trường đại. | 12th International Mathematics Competition for University Students Blagoevgrad July 22 - July 28 2005 First Day Problem 1. Let A be the n x n matrix whose i j th entry is i j for all i j 1 2 . n. What is the rank of A Solution 1. For n 1 the rank is 1. Now assume n 2. Since A i nj i j nj i matrix A is the sum of two matrixes of rank 1. Therefore the rank of A is at most 2. The determinant of the top-left 2 x 2 minor is -1 so the rank is exactly 2. Therefore the rank of A is 1 for n 1 and 2 for n 2. Solution 2. Consider the case n 2. For i n n 1 . 2 subtract the i 1 th row from the nth row. Then subtract the second row from all lower rows. 2 3 . . n U 2 3 . . n 1 1 1 0 . 2 . 1 . 0 . .n .1 .0 . rank 3 . . 4 . . . n 2 . . . rank 1 . . 1 . . . .1 . . . rank 2 . n 1 n 2 . . . 2n . 1 1 . . .1 . . 0 . 0 . . . .0 Problem 2. For an integer n 3 consider the sets Sn xi X2 . Xn Vi Xi G 0 1 2 An X1 X2 . . . Xn G Sn Vi n 2 x xi i xi 2 1 and Bn xi X2 . Xn G Sn Vi n 1 Xi Xi 1 Xi 0 . Prove that An i 3 Bn . A denotes the number of elements of the set A. Solution 1. Extend the definitions also for n 1 2. Consider the following sets An xi X2 . . . Xn G An Xn-1 Xn A An An Bn Xi X2 . Xn G Bn Xn 0 Bn Bn Bn and denote an Ara a n An a n A bn Bra bn B bn B . It is easy to observe the following relations between the a-sequences an an 1 o an 1 an an an 2an 2an which lead to an 1 2an 2an-1. For the b-sequences we have the same relations bn bn 1 b bn 1 bn bn b n 2bn 2bn therefore bn i 2bn 2bn-i. By computing the first values of an and bn we obtain o1 3 o2 9 a3 24 b1 3 b2 8 12th International Mathematics Competition for University Students Blagoevgrad July 22 - July 28 2005 Second Day Problem 1. Let f x x2 bx c where b and c are real numbers and let M x G R f x 1 . Clearly the set M is either empty or consists of disjoint open intervals. Denote the sum of their lengths by M . Prove that M 2 2. Solution. Write f x x 2 d where d c If d 1 then f x 1 for all x M 0 and M If 1 d 1 then f x 1 for all x

• Toán học
• Đề thi
• olympic sinh viêc quốc tế
• olympic sinh viên thế giớ
• bộ đề thi olympic
• luyện thi olympic quốc tế
• Đề thi THPT Quốc gia 2020
• Đề thi thử THPT Quốc gia
• Đề thi THPT Quốc gia
• Đề thi thử THPT Quốc gia môn Toán
• Đề thi thử THPT Quốc gia môn Văn
• Đề thi thử THPT Quốc gia môn Anh
• Đề thi thử THPT Quốc gia môn Hóa
• Đề thi thử THPT Quốc gia môn Lí
• Đề thi thử THPT Quốc gia môn Sử
• Đề thi thử THPT Quốc gia môn Địa
• Đề thi thử THPT Quốc gia môn GDCD
• Đề thi thử môn GDCD
• Đề thi THPT Quốc gia môn GDCD
• Ôn thi THPT Quốc gia
• Luyện thi THPT Quốc gia
• Ôn tập GDCD
• Ôn thi GDCD
• Bài tập GDCD
• Đề thi vào lớp 10
• Đề tuyển sinh vào lớp 10
• Đề thi vào lớp 10 năm 2020
• Đề thi vào lớp 10 môn Toán
• Đề thi vào lớp 10 môn Văn
• Đề thi vào lớp 10 môn Anh
• Đề thi vào lớp 10 môn Hóa
• Đề thi vào lớp 10 môn Lý
• Đề thi vào lớp 10 môn Sinh
• Đề thi vào lớp 10 môn Sử
• Đề thi vào lớp 10 môn Địa
• Đề tập huấn thi THPT Quốc gia năm 2020
• Đề tập huấn thi THPT Quốc gia môn Toán
• Đề thi thử môn Toán
• Đề thi THPT Quốc gia môn Toán
• Ôn tập Toán
• Ôn thi Toán
• Bài tập Toán
• ôn thi cao đẳng
• Đề thi thử đại học môn toán năm 2012
• đề thi toán đại học
• tài liệu luyện thi đại học
• bài tập trắc nghiệm
• cấu trúc đề thi đại học
• ngân hàng đề thi trắc nghiệm
• tài liệu ôn thi đại học
• bộ đề thi đại học
• đề thi thử đại học
• tuyển sinh đại học cao đẳng
• các đề thi đại học