TAILIEUCHUNG - Tuyển tập phương trình hàm - Lữ Võ Hoàng Phúc

Tài liệu "Tuyển tập phương trình hàm" được biên soạn bởi tác giả Lữ Võ Hoàng Phúc với mục đích củng cố kiến thức toán học chuyên đề phương trình hàm cho các em học sinh. Thông qua tài liệu này, các em sẽ nắm được nội dung cũng như vận dụng giải các bài tập một cách nhanh và chính xác nhất. Chúc các em học tập thật tốt nhé! | Tuyển Tập Phương Trình Hàm Lữ Võ Hoàng Phúc Ngày 7 tháng 9 năm 2022 Bài toán . Tìm tất cả các hàm số f R R thỏa mãn f x f y f x yf x x y R . Lời giải. Nhận xét. f x 1 x gt 0. Giả sử tồn tại x0 gt 0 sao cho 1 gt f x0 gt 0. Từ P x0 1 fx x suy ra0 0 x0 x0 f x0 f f f x0 0 1 f x0 1 f x0 mâu thuẫn. Vậy f x 1 x gt 0. Nhận xét. f không giảm. y Từ P x f x suy ra y f x y f x f f x x y R . f x Vậy f không giảm. Trường hợp. f x gt 1 x gt 0. Từ trên dễ dàng suy ra f tăng ngặt. Từ P y x và đối chiếu với P x y suy ra f x yf x f y xf y x y R . Do f tăng ngặt nên x yf x y xf y x y R . Từ đây cho y 1 ta được f x αx 1 x R với α f 1 1 gt 0. Thử lại ta thấy hàm số thỏa mãn yêu cầu bài toán. 1 Lữ Võ Hoàng Phúc Ngày 7 tháng 9 năm 2022 Trường hợp. Tồn tại x0 gt 0 sao cho f x0 1. Từ P x0 y suy ra f y f x0 y y R . Bằng quy nạp ta được f y f y nx0 y R . Giả sử 0 lt y lt x do f không giảm nên f y f x . Tồn tại n N đủ lớn để x lt y nx0 f x f y nx0 . Hay f y f x f y nx0 f y . Suy ra f là hàm hằng. Thử lại ta được f x 1 x R . Tất cả các hàm số cần tìm là f x αx 1 và f x 1. Bài toán . Tìm tất cả các hàm số f R R thỏa mãn f xf y f y f x y x y R . Lời giải. Nhận xét. Trường hợp f đơn ánh. x Từ P f y y suy ra x f x f y f y x y R . f y y Từ P f x x suy ra y f x f y f x x y R . f x Suy ra x y f y f x x y R . f y f x Do f đơn ánh nên x y y x x y R . f y f x Từ đây cho y 1 suy ra x 1 1 x x R . f 1 f x Hay 1 x R f x αx 1 1 trong đó α f 1 1. Do f đơn ánh nên α ̸ 0 . Và f x gt 0 nên αx 1 gt 0 α gt 0. Vì nếu α lt 0 cho x mâu thuẫn. Thử lại với mọi α gt 0 hàm số thỏa mãn yêu cầu bài toán. 2 Lữ Võ Hoàng Phúc Ngày 7 tháng 9 năm 2022 Nhận xét. Trường hợp f không đơn ánh. Hay tồn tại tại 0 lt x1 lt x2 sao cho f x1 f x2 α gt 0. Từ P x1 y ta suy ra αf y f x1 αy y R . Từ P x2 y ta suy ra αf y f x2 αy y R . Do đó f x1 αy f x2 αy y R . x Từ trên thay y bởi α ta được f x f x δ x gt x1 Với δ x2 x1 gt 0 . Bằng quy nạp ta được f x f x nδ x gt x1 n N . Giả sử tồn tại hai số dương u ̸ v sao cho f u ̸ f v . Ta giả sử

• Toán học
• Tuyển tập phương trình hàm
• Phương trình hàm
• Bài tập phương trình hàm
• Chuyên đề phương trình hàm
• Giải bài toán phương trình
• Phương trình hàm trên tập rời rạc
• Phương pháp quy nạp toán học
• Phép thế
• Định lý Wilson
• 200 bài thi vô địch Toán
• Tuyển tập 200 bài thi vô địch Toán
• Bài thi môn Toán
• Tìm hiểu 200 bài thi môn Toán
• Phương trình hàm cơ bản
• Bài toán phương trình hàm cơ bản
• Tài liệu ôn tập Toán 11
• Kiến thức trọng tâm Toán 11
• Bài tập hàm số lượng giác
• Phương trình lượng giác
• Câu hỏi vận dụng cao Toán 11
• Đề thi tuyển sinh vào lớp 10
• Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 môn Toán
• Đề thi vào lớp 10 môn Toán
• Luyện thi vào lớp 10 môn Toán
• Giải hệ phương trình
• Rút gọn biểu thức
• Đồ thị hàm số
• sổ tay toán học
• bài tập toán
• tài liệu học môn toán
• phương trình vi phân
• các dạng bài tập phương trình vi phân
• bất đẳng thức chọn lọc
• giải toán bất đẳng thức
• phương trình thuần nhất
• hàm biến phức
• định lý và áp dụng
• kiến thức cơ bản
• phương trình
• hàm số
• bài tập đại số
• luyện thi đại học cao đẳng
• ôn thi trường chuyên
• cách giải nhanh bài tập
• ôn tập toán
• phương trình hàm nâng cao
• luyện thi Olympic
• thi quốc tế
• luyện thi toán nâng cao
• toán tự luận
• Toán Đại số sơ cấp
• Chuyên đề Toán Đại số sơ cấp
• Đại số sơ cấp Đại số tuyển chọn
• Bất phương trình
• Hệ chứa căn thức
• Hệ chứa hàm số logarit
• chuyên đề toán học
• toán phổ thông
• hệ phương trình
• phép biến đổi đại số
• phương pháp đặt ẩn dụ
• phương pháp hàm số
• bài tập trắc nghiệm
• Đại số và giải tích 11
• Trắc nghiệm Đại số lớp 11
• Bài tập Toán lớp 11
• Hàm số lượng giác
• Tuyển tập giáo trình toán hoc
• Giáo trình toán kỹ thuật
• phương pháp học toán
• nghệ thuật giải toán