TAILIEUCHUNG - Bài giảng cơ học lượng tử - Nguyễn Văn Khiêm : Bài 6
Trong Đại số tuyến tính, mỗi toán tử (hay ánh xạ tuyến tính) đều được biểu diễn bởi một ma trận, nếu trong các không gian vector đã cho sẵn các cơ sở. Cách biểu diễn tương tự cũng có thể thực hiện với toán tử trên các không gian hàm; chỉ có điều ở đây ma trận sẽ có cấp vô hạn. | Hong Duc University 307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam Cơ học lượng tử Nguyễn Văn Khiêm Hong Duc University 307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam Bài 6 dạng ma trận của toán tử Hong Duc University 307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam Trong Đại số tuyến tính, mỗi toán tử (hay ánh xạ tuyến tính) đều được biểu diễn bởi một ma trận, nếu trong các không gian vector đã cho sẵn các cơ sở. 1. Các phần tử ma trận của một toán tử Trước hết, ta xét một toán tử tác dụng trong không gian các hàm với biến vector Trường hợp tổng quát được xét tương tự mà không có khó khan gi. Gia sử mỗi hàm đều có thể viết được dưới dạng: Cách biểu diễn tương tự cũng có thể thực hiện với toán tử trên các không gian hàm; chỉ có điều ở đây ma trận sẽ có cấp vô hạn. Hong Duc University 307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam Dễ thấy toán tử vector thoả mãn yêu cầu trên, chính là toán tử trong đó là các hàm cho trước thoa mãn điều kiện trực giao . Khi đó, số phức được gọi là phần tử ma trận giua hai trạng thái và và ký hiệu là: và chuẩn hoá, còn c1, c2, . xác định theo Như vậy: Hong Duc University 307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam Bây giờ ta sẽ thể hiện tác động của toán tử bởi các phần tử ma trận. Giả sử hay Nhân 2 vế của () với lấy tích phân theo toàn bộ không gian và chú ý đến điều kiện chuẩn hoá ta có: hay: Đây chính là công thức thể hiện tác động của qua các phần tử ma trận. Hong Duc University 307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam Bây giờ ta xét trường hợp khi mọi hàm đều khai triển được dưới dạng: trong đó tích phân lấy theo một tập hợp liên tục của không gian biến và các hàm cũng thoa mãn điều kiện chuẩn hoá: Hong Duc University 307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam và: thì Tác động của thể hiện dưới dạng ma trận như sau: nếu Khi đó, phần tử ma trận của toán tử giua hai trạng thái và là: Hong Duc University 307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam 2. Tính hermitic ở dạng ma
đang nạp các trang xem trước
