TAILIEUCHUNG - Báo cáo toán học: "Franklin’s argument proves an identity of Zagier"

Tuyển tập các báo cáo nghiên cứu khoa học hay nhất của tạp chí toán học quốc tế đề tài: Franklin’s argument proves an identity of Zagier. | Franklin s argument proves an identity of Zagier Robin Chapman School of Mathematical Sciences University of Exeter Exeter EX4 4QE UK rjc@ Submitted September 28 2000 Accepted November 9 2000 Abstract Recently Zagier proved a remarkable q-series identity. We show that this identity can also be proved by modifying Franklin s classical proof of Euler s pentagonal number theorem. Mathematics Subject Classification 2000 05A17 11P81 1 Introduction We use the standard q-series notation n a n n 1 - aqk-1 k 1 where n is a nonnegative integer or n 1. Euler s pentagonal number theorem states that q i 1 Ể -1 r q . 1 r 1 Recently Zagier proved the following remarkable identity Theorem 1 k E q i - q n q i E Vk E 1 r 3r - 1 qr 3r-1 2 3rqr 3r 1 2 . 2 n 0 k 1 q r 1 This is 8 Theorem 2 slightly rephrased. Equation 1 has a combinatorial interpretation. The coefficient of qN in q 1 equals de N do N where de N respectively do N is the number of partitions of N into an even respectively odd number of distinct parts. Franklin 4 showed that d N d N 1 r if N 2 r 3r 1 for a positive integer r o I 0 otherwise. THE ELECTRONIC .JOURNAL OF COMBINATORICS 7 2000 R54 2 His proof was combinatorial. He set up what was almost an involution on the set of partitions of N into distinct parts. This involution reverses the parity of the number of parts. However there are certain partitions for which his map is not defined. These exceptional partitions occur precisely when N 1 r 3r 1 and so account for the nonzero terms on the right of 1 . Franklin s argument has appeared in numerous textbooks notably 1 and 5 . We show that Zagier s identity has a similar combinatorial interpretation which miraculously Franklin s argument proves at once. The author wishes to thank George Andrews and Don Zagier for supplying him with copies of 3 and 8 and also an anonymous referee for helpful comments. 2 Proof of Theorem 1 We begin by recalling Franklin s involution . Let DN denote the set of .

• Báo cáo khoa học
• tài liệu báo cáo nghiên cứu khoa học
• cách trình bày báo cáo
• kiến thức toán học
• báo cáo toán học
• công trình toán học
• Nghiên cứu khoa học
• Phương pháp nghiên cứu khoa học
• Bài giảng Phương pháp nghiên cứu khoa học
• Báo cáo nghiên cứu khoa học
• Trình bày báo cáo nghiên cứu khoa học
• Văn phong sử dụng trong báo cáo khoa học
• Báo cáo khoa học công nghệ
• Đề tài nghiên cứu khoa học
• Nghiên cứu công nghệ làm phân vi sinh
• Báo cáo nghiên cứu phân vi sinh
• Báo cáo tình hình nghiên cứu khoa học
• Mẫu Báo cáo thực hiện nghiên cứu
• Trình bày Báo cáo thực hiện nghiên cứu
• Nội dung Báo cáo thực hiện nghiên cứu
• Hình thức Báo cáo thực hiện nghiên cứu
• Biên bản nghiên cứu khoa học
• Báo cáo khoa học và kỹ thuật
• Đề tài nghiên cứu khoa học y khoa
• Báo cáo nghiên cứu cấp nhà nước
• Nghiên cứu chất lượng chế phẩm thuốc
• Báo cáo nghiên cứu công nghệ sinh học
• Đề tài nghiên cứu thuốc sâu sinh học
• Báo cáo khoa học kỹ thuật
• Báo cáo quản lý chất thải sinh hoạt
• Báo cáo khoa học môi trường
• Nghiên cứu khoa học về môi trường
• Báo cáo nghiên cứu vệ sinh môi trường
• Nghiên cứu tình hình nhiễm độc Cadimi
• Báo cáo chế phẩm sinh học
• Báo cáo nghiên cứu ứng dụng sinh học
• Cách viết báo cáo khoa học
• Quy trình nghiên cứu khoa học
• Báo cáo kết quả nghiên cứu
• báo cáo khoa học
• tuyển tập báo cáo khoa học
• báo cáo ngành toán học
• báo cáo ngành vật lý
• báo cáo ngành chăn nuôi
• Nghiên cứu công nghệ phôi vô tính
• Báo cáo nghiên cứu nông nghiệp
• Báo cáo công nghệ xử lý chất thải
• Báo cáo nghiên cứu khoa học công nghệ
• Kết quả nghiên cứu lúa lai
• Cây lương thực
• Cây thực phẩm
• Một số nguyên tắc nghiên cứu khoa học
• Tiêu chuẩn báo cáo nghiên cứu khoa học
• Nguyên tắc báo cáo khoa học
• Báo cáo nghiên cứu công trình
• Nghiên cứu độ rỗng trong đá chứa dầu khí
• Nghiên cứu công nghệ UV–Fenton
• Nghiên cứu công nghệ xử lý nước thải
• Đề tài y tế đảm bảo an toàn người bệnh
• Báo cáo xây dựng hệ thống y tế
• Kỹ thuật viết báo cáo nghiên cứu
• Viết báo cáo nghiên cứu
• Báo cáo nghiên cứu
• khoa học
• Hình thức soạn thảo văn bản báo cáo
• Báo cáo nghiên cứu nước thải rượu
• Báo cáo công nghệ thiết bị UASB
• Đề tài công nghệ vi sinh
• luận văn mẫu
• người lính việt nam
• sau chiến tranh
• báo cáo ngành triết học
• báo cáo ngành lịch sử
• báo cáo ngành văn học