TAILIEUCHUNG - Một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức trong đại số

Trong chứng minh bất đẳng thức, đặc biệt là các bài toán có biến ràng buộc bới một hệ thức cho trước thoạt nhìn chúng ta cứ nghĩ đó là bài toán đại số thuần tuý nhưng nếu biết biến đổi linh hoạt điều kiện để chuyển bài toán về dạng lượng giác thì cách giải sẽ trở nên đơn giản hơn rất nhiều. Qua bài viết này tác giả mong muốn gửi đến các em học sinh một phương pháp chứng minh bất đẳng thức thường gặp trong các kỳ thi TSĐH | PHẴN I Tự LUẬN A. MỘT số PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC TRONG ĐẠI số Chỉ để 1 SỬ DỤNG CÁC PHÉP BIẾN Đổi TƯƠNG ĐƯƠNG CÁC TÍNH CHẤT CỦA BẤT ĐẲNG thức 1. KIẾN THỨC CẦN NHỚ a Khái niệm bất đẳng thức Các mệnh đề dạng A B A B A B A B được gọi là BĐT với A gọi là vế trái B gọi là vế phải và A B là hai biểu thức đại số. Ta có A B A-B 0 A B A B 0 À B A-B 0 A B A-B 0 b Tính chất Tính chất 1 o A fĩ CQ o A A CQ Tính chất 2 Tính chất 3 L B A c B c Ư Với c 0 A B AC BC Với c 0 A B AC BC Tính chất 4 Í D A C B D Tính chất 5 r A-C B-D c D 0 Tính chất 6 A B 0 n e N An Bn A B 0 n e N n 2 w Tính chất 7 A B n e N o A2n 1 B2n 1 A B n e N o 2n YÃ 2n Ẽ 5 c Phương pháp Để chứng minh A B ta sẽ chứng minh A - B 0 nghĩa là ta sử đụng định nghĩa tính chất cơ bản . để biến đổi bất đẳng thức cần chứng minh đến một BĐT đúng hay một tính chất đúng hoặc có thể sử dụng BĐT đúng biến đổi dẫn đến BĐT cần chứng minh . 2. VÍ DỤ MINH HỌA Ví dụ 1 Chứng minh a a b 2 ãb Va b 0. b a3 b3 ab2 a2b Va b 0. c a4 b4 ab3 a3b Va b. 1 BĐTCauchy 2 3 Giải a 1 a b 2 4ab a2 2ab b2 4ab a2 - 2ab b2 0 a - b 2 0 đúng Vậy a b 2ựãb Va b 0. 2 a3 - a2b b3 - ab2 0 a2 a - b - b2 a - b 0 a - b a2 - b2 0 a - b 2 a b 0 Do a b 0 đúng Vậy a3 b3 ab2 a2b Va b 0. 3 o a3 a - b - b3 à - b 0 a - b a3 - b3 0 a - b 2 a2 ab b2 0 3b2 4 a - b 2 0 Va b đúng Vậy a4 b4 ab3 a3b Va b. Ví dụ 2 Chứng minh a2 b2 c2 ab bc ca Va b c. Giải 2 a2 2b2 2c2 2ab 2bc 2ca a - b 2 b - c 2 c - a 2 0 đúng Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a b c. Vậy a2 b2 c2 ab bc ca Va b c. 6 0 lg ị ló - Ví dụ 3 uno a b c là độ dài ba cạnh của AABC với a b c. Chứng minh a b c 2 9bc. Gỉẳỉ Vì a b a b c 2 á b b c 2 - 2b c 2 Để chứng minh ta sẽ chứng minh 2b c 2 9bc 1 Thật vậy 1 4b2 4bc c2 9bc 2b - c 2 bc Ta có 2b - c 2b - b b 9 7 2b - c 2 bc đpcm . 2b - c 2c - c c k Ví dụ 4 Cho a b c 0 thỏa mãn 2 . n_2 b 2a 2a Vã - 1. Chứng minh a b c b b2 2a2 ì c2 2b2 a2 2c2ì abc. V3 V3 w Giải Giả thiết đã cho có thể viết lại ab bc ca abc a u2 n 2 b 2a 2 2 ZJ 2 X 12 4 u . 4 2 b 2a .

• Trung học phổ thông
• Tài liệu toán học
• cách giải bài tập toán
• phương pháp học toán
• bài tập toán học
• cách giải nhanh toán
• bất đẳng thức
• Khóa luận tốt nghiệp ngành Kế toán Kiểm toán
• Kế toán Kiểm toán
• Tổ chức kế toán thanh toán
• Kế toán thanh toán cho người mua người bán
• Kế toán thanh toán
• Kế toán người bán
• Kế toán người mua
• ôn thi toán học
• Đề ôn thi học kì 1 môn Toán 10
• Đề ôn thi học kì 1 môn Toán 11
• Đề thi HK1 môn Toán lớp 10
• Đề thi HK1 môn Toán lớp 11
• Đề thi học kì 1 Toán 10
• Đề thi học kì 1 Toán 11
• Đề thi môn Toán lớp 10
• Đề thi môn Toán lớp 11
• Ôn thi Toán 10
• Ôn thi Toán 11
• số chính phương
• Ôn tập toán
• bài tập toán
• tài liệu học môn toán
• sổ tay toán học
• ôn tập trắc nghiệm toán
• Luận văn Toán học
• Luận văn thạc sĩ Toán học
• Các bài Toán hình học tổ hợp
• Luận văn Toán hình học tổ hợp
• Phương pháp giải toán hình học tổ hợp
• Thạc sĩ Khoa học Toán học
• Nguyên lí Dirichlet
• Giải toán sơ cấp
• Sáng kiến kinh nghiệm
• Kết quả học tập môn toán
• Đồ dùng dạy học toán học
• Phần mềm toán học vào dạy học
• Toán Hình Học chương III
• Toán hình học Lớp 11
• Trường THPT Cao Lãnh 1
• Bộ đề thi học kì 1 môn Toán lớp 9
• Đề thi học kì Toán 9
• Đề thi tham khảo HK1 môn Toán 9
• Đề thi học kì 1 Toán 9
• Đề thi môn Toán lớp 9
• Đề kiểm tra HK1 Toán 9
• Kiểm tra Toán 9 HK1
• Đề thi HK1 môn Toán
• Ôn tập Toán 9
• Ôn thi Toán 9
• Bộ đề thi học kì 1 môn Toán lớp 8
• Đề thi học kì Toán 8
• Đề thi tham khảo HK1 môn Toán 8
• Đề thi học kì 1 Toán 8
• Đề thi môn Toán lớp 8
• Đề kiểm tra HK1 Toán 8
• Kiểm tra Toán 8 HK1
• Ôn tập Toán 8
• Ôn thi Toán 8
• Bộ đề thi học kì 1 môn Toán lớp 6
• Đề thi học kì Toán 6
• Đề thi tham khảo HK1 môn Toán 6
• Đề thi học kì 1 Toán 6
• Đề thi môn Toán lớp 6
• Đề kiểm tra HK1 Toán 6
• Kiểm tra Toán 6 HK1
• Ôn tập Toán 6
• Ôn thi Toán 6
• Bộ đề thi học kì 1 môn Toán lớp 7
• Đề thi học kì Toán 7
• Đề thi tham khảo HK1 môn Toán 7
• Đề thi học kì 1 Toán 7
• Đề thi môn Toán lớp 7
• Đề kiểm tra HK1 Toán 7
• Kiểm tra Toán 7 HK1
• Ôn tập Toán 7
• Ôn thi Toán 7
• Phát triển tư duy toán học
• Lập luận toán học
• Dạy học Toán lớp 4
• Phát triển toán học cho học sinh
• Kỹ năng lập luận toán học
• Giáo dục toán học ở bậc tiểu học
• Toán tiểu học
• Bài tập nâng cao Toán tiểu học
• Chuyên đề Toán tiểu học
• Học sinh giỏi Toán
• Tài liệu tiểu học
• Ôn thi Toán lớp 4
• Kỹ năng giải Toán
• Đặc điểm của học sinh khó khăn trong học toán
• Học sinh khó khăn trong học toán
• Biện pháp giúp đỡ học sinh khó khăn trong học toán
• Tình trạng học sinh khó khăn trong học toán
• Bồi dưỡng học sinh kém toán
• Đề thi chọn HSG Toán THPT
• Đề thi học sinh giỏi Toán 12
• Đề thi HSG môn Toán lớp 12
• Đề thi học sinh giỏi môn Toán
• Đề thi học sinh giỏi Toán
• Đề thi học sinh giỏi lớp 12
• Đề thi học sinh giỏi môn Toán THPT
• Ôn thi Toán 12
• Bài tập Toán 12
• Luyện thi HSG Toán 12