TAILIEUCHUNG - Bài giảng Cực trị hàm nhiều biến
Bài giảng Cực trị hàm nhiều biến cung cấp cho các bạn những kiến thức về cực trị có điều kiện; cách tìm giá trị lớn nhất - nhỏ nhất. Đây là những kiến thức quan trọng trong phần giải tích và thường được ra trong các kỳ thi quan trọng. Do đó, mời các bạn tham khảo bài giảng để nắm bắt tốt hơn kiến thức Toán học này. | CỰC TRỊ HÀM NHIỀU BIẾN CỰC TRỊ CÓ ĐIỀU KIỆN Xét 2 bài toán: Bài 1: Tìm cực trị Cực đại đạt tại (0,0), z = 1 Bài 2: Tìm cực trị Thỏa điều kiện x + y – 1 = 0 Bài 2: Tìm cực trị Thỏa điều kiện x + y – 1 = 0 x + y – 1 = 0 Cực đại đạt tại (1/2, 1/2), Định nghĩa: Hàm số z = f(x, y) thỏa điều kiện (x, y) = 0 đạt cực đại tại M0 nếu tồn tại 1 lân cận V của M0 sao cho f(M) f(M0), M V và (M) = 0 Tương tự cho định nghĩa cực tiểu có điều kiện. Điều kiện cần của cực trị có điều kiện Giả sử f, khả vi trong lân cận của M0(x0, y0) và : nhân tử Lagrange ( ) Nếu f đạt cực trị tại M0 với điều kiện = 0 thì tồn tại R sao cho M0 thỏa hệ ( ) gọi là điểm dừng trong bài toán cực trị có điều kiện, cũng gọi là điểm dừng của hàm Lagrange L(x,y) = f(x, y) + (x, y) d (M0) = 0 ( dx và dy liên kết với nhau theo hệ thức này) ( ) Điều kiện đủ của cực trị có điều kiện Giả sử f, có các đhr đến cấp 2 liên tục trong lân cận của M0(x0, y0) và M0 là điểm dừng của L(x,y), Nếu d2L(M0) xác định dương thì f đạt cực tiểu có điều kiện tại M0. Nếu d2L(M0) xác định âm thì f đạt cực đại có điều kiện tại M0. Các bước tìm cực trị có điều kiện hàm 2 biến Loại 1: điều kiện bậc nhất theo x, y( tìm trên đường thẳng) (x, y) = ax + by + c = 0 đưa về cực trị hàm 1 biến khi thay y theo x trong f. B2: xét dấu d2L tại M0 có kèm đk d (M0) = 0 Loại 2:(tổng quát) dùng pp nhân tử Lagrange L(x,y) = f(x,y) + (x,y) B1: tìm điểm dừng của L(x, y) : Xác định dương: cực tiểu Xác định âm: cực đại VÍ DỤ 1/ Tìm cực trị thỏa điều kiện L(x,y) = f(x, y) + (x, y) = 1 – 4x – 8y + (x2 – 8y2 – 8 ) Điểm dừng: Tại M1(- 4, 1), = -1/2 M1 là điểm cực tiểu có đk của f, f(M1) = 9 Tại M1(4, -1), = 1/2 M2 là điểm cực đại có đk của f, f(M2) = 7 2/ Tìm cực trị thỏa điều kiện Điểm dừng của L là n0 hệ: Tại P1(2, -1), = 2 Vậy f đạt cực tiểu có đk tại P1, f(P1) = -2. Tương tự tại P2(-2, 1) Tại P3(2, 1), = - 2 Vậy f đạt cực đại có đk tại P3, f(P3) = 2. Tương tự tại P4(-2, -1) 3/ Tìm cực trị thỏa điều kiện x + y – 1 =
đang nạp các trang xem trước
