TAILIEUCHUNG - Giáo trình Cơ sở lý thuyết tập hợp và logic Toán: Phần 2 - Nguyễn Tiến Trung
Tiếp nối phần 1, phần 2 Giáo trình Cơ sở lý thuyết tập hợp và logic Toán gồm tiểu chủ đề và của phần cơ sở lý thuyết tập hợp và các tiểu chủ đề của phần cơ sở của logic toán. Giáo trình là tài liệu tham khảo hữu ích cho các giáo viên tiểu học, sinh viên, giảng viên các ngành sư phạm tiểu học. | Tiểu chủ đề . đơn ánh, toàn ánh, song ánh và ánh xạ ngược Thông tin cơ bản . Đơn ánh Ta xét các ánh xạ trong ví dụ sau: Ví dụ : Cho hai tập hợp X = {a, b, c, d, e}, Y = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8} và hai ánh xạ f : X → Y, g : X → Y xác định b?i các bảng sau đây: Deleted: Formatted: Heading02, Space Before: 0 pt Formatted: Heading03 Hai ánh xạ f và g được biểu diễn bởi hai lược đồ hình tên trong Hình 8 dưới đây. Hình 2 Ta thấy ba phần tử b, d, e của tập hợp X đều có ảnh qua ánh xạ f là phần tử 2 của tập hợp Y. Trong lược đồ 8a), ba mũi tên từ ba điểm b, d, e của X đều đi đến điểm 2 của Y. Điều này không xảy ra với ánh xạ g. Các phần tử a, b, c, d, e của tập hợp X có các ảnh qua ánh xạ g là những phần tử đôi một khác nhau của tập hợp Y. Trong lược đồ 8 b), các mũi tên từ hai điểm khác nhau của X đi đến hai điểm khác nhau của Y. Nói một cách khác, hai phần tử khác nhau bất kì của tập hợp X có ảnh qua ánh xạ g là hai phần tử khác nhau của tập hợp Y. Ánh xạ g được gọi là một đơn ánh. Một cách tổng quát, ta có: Định nghĩa: ánh xạ f: X → Y gọi là một đơn ánh nếu hai phần tử khác nhau bất kì của tập X có ảnh qua f là hai phần tử khác nhau của tập hợp Y, tức là với mọi x , x ∈ X, 1 2 x ≠ x ⇒ f(x ) ≠ f(x ). 1 2 1 2 Hiển nhiên, điều kiện trên tương đương với điều kiện sau: Với mọi x , x ∈ X, 1 2 f(x ) = f(x ) ⇒ x = x 1 2 1 2 Theo định nghĩa vừa nêu, hiển nhiên ánh xạ f trong Ví dụ 1 không phải là một đơn ánh. Ví dụ : (i) Ánh xạ f : ⏐R → ⏐R xác định bởi f(x) = x không phải là một đơn ánh vì chẳng hạn, f(−1) = f(1) = 1. 2 (ii) Ánh xạ g : N* → Q xác định bởi g(n) = là một đơn ánh vì với hai số nguyên dương m, n bất kì, nếu m ≠ n thì ≠ . (iii) Ánh xạ ϕ : ⏐R →⏐R xác định bởi (x) = sin x không phải là một đơn ánh vì chẳng hạn, ϕ(0) = ϕ (π) = 0. Tuy nhiên, nếu đặt A = {x ∈⏐R : ≤ x ≤ } thì ánh xạ /A : A → ⏐R, thu hẹp của trên tập con A của ⏐R là một đơn ánh. Tương tự, ánh xạ (x) = cos x không phải là một đơn ánh. Tuy nhiên, nếu dặt B = {x ∈⏐R : 0 ≤ x ≤ π} thì .
đang nạp các trang xem trước
