TAILIEUCHUNG - Generalized Curvatures Part 6

Tham khảo tài liệu 'generalized curvatures part 6', kỹ thuật - công nghệ, cơ khí - chế tạo máy phục vụ nhu cầu học tập, nghiên cứu và làm việc hiệu quả | Chapter 10 Background on Riemannian Geometry We do not use much intrinsic Riemannian geometry in this book since our manifolds are essentially submanifolds of Euclidean spaces. However the Steiner formula for convex subsets with smooth boundaries and the tubes formula of Weyl see Chaps. 16 and 17 are Riemannian results. Moreover the invariant forms described in Chap. 19 have a typical Riemannian flavor. That is why we give a brief survey of Riemannian geometry. The reader interested in the subject can consult 10 29 76 57 Tome 1 Chaps. 4 and 5 or 67 . Riemannian Metric and Levi-Civita Connexion Let Mn be an n-dimensional manifold. We denote by TMn its tangent bundle and by X Mn the module of C vector fields on Mn. A Riemannian metric on Mn is a positive definite symmetric tensor field g of type 0 2 defined on Mn. In other words at each point m e Mn gm is a scalar product on TmMn which varies differ-entiably with m. This tensor will often be denoted by . Every manifold admits Riemannian metrics. To each Riemannian metric is associated a unique linear connexion V called the Levi-Civita connexion. Recall that a linear connexion V on Mn is an operator V X Mn X X Mn - X Mn X Y VxY satisfying for all X Y Z e X Mn and for all f g e Cm Mn V fx gYZ f VxZ gVYZ. Vx Y Z VxY VxZ. VxfZ fVxZ X f Z. The torsion and the curvature are two tensors associated to any linear connection The torsion T is defined for all X Y e X Mn by T X Y VxY - VyX - X Y . 101 102 10 Background on Riemannian Geometry The curvature R is defined for all X Y Z X Mn by R X Y Z Vx VyZ - Vy VxZ - V x Y Z. The Levi-Civita connexion is completely determined by two supplementary conditions 1. It has no torsion for all X Y X Mn VxY - VyX X Y where . . is the Lie bracket on Mn. 2. is parallel with respect to V for all X Y Z X Mn Z X Y VzX Y X VzY . Properties of the Curvature Tensor The curvature tensor R of V satisfies the following algebraic properties. For all X Y Z W x Mn R X Y Z R Y X Z 0. R X Y Z R Y

• Cơ khí - Chế tạo máy
• hướng dẫn cơ khí
• sổ tay cơ khí
• tài liệu cơ khí
• luyện thi cơ khí
• đề thi cơ khí
• Tài liệu hướng dẫn thực tập cơ khí
• Hướng dẫn thực tập cơ khí
• Thực tập cơ khí
• Thực hành rèn tự do
• Thực hành gò kim loại
• Thực hành hàn hồ quang điện
• vẽ kỹ thuật
• cơ khí chế tạo máy
• ôn thi cơ khí
• Hướng dẫn truyền động cơ khí
• Hệ thống truyền động cơ khí
• Truyền động cơ khí
• Hệ thống truyền động cơ
• Chọn động cơ điện
• Phân phối tỷ số truyền
• Moldflow 2012
• lỵyện thi cơ khí
• Hệ dẫn động
• Hệ dẫn động cơ khí
• Hệ dẫn động cơ khí tầm
• Chất lượng truyền động
• Kỹ thuật cơ khí động lực
• Inventor
• gia công cơ khí
• sổ tay thiết kế cơ khí
• cơ khí động lực
• hệ thống truyền lực
• động cơ đốt trong