TAILIEUCHUNG - Junior problems - Phần 4

Tham khảo tài liệu 'junior problems - phần 4', khoa học tự nhiên, toán học phục vụ nhu cầu học tập, nghiên cứu và làm việc hiệu quả | Junior problems J181. Let a b c d be positive real numbers. Prove that a b 3 c d 3 a2 d2 3 b2 c2 3 2 2 a d b c Proposed by Pedro H. O. Pantoja Natal-RN Brazil J182. Circles C1 Opr and C2 O2 R are externally tangent. Tangent lines from O1 to C2 intersect C2 at A and B while tangent lines from O2 to C1 intersect C1 at C and D. Let O1A O2C E and O1B O2D F . Prove that EF O1O2 AD BC. Proposed by Roberto Bosch Cabrera Florida USA J183. Let x y z be real numbers. Prove that x2 y2 z2 2 xyz x y z 3 xy yz zx 2 x2y2 y2z2 z2x2 . Proposed by Neculai Stanciu George Emil Palade Buzau Romania J184. Find all quadruples x y z w of integers satisfying the system of equations x y z w xy yz zx w2 w xyz w3 1. Proposed by Titu Andreescu University of Texas at Dallas USA J185. Let H x y x y be the harmonic mean of the positive real numbers x and y. For n 2 find the greatest constant C such that for any positive real numbers a1 . an b1 . bn the following inequality holds C 1 1 H a1 ---- an b1 ---- bn - H a1 b1 H an bn Proposed by Dorin Andrica Babes-Bolyai University Cluj-Napoca Romania J186. Let ABC be a right triangle with AC 3 and BC 4 and let the median AA1 and the angle bisector BB1 intersect at O. A line through O intersects hypotenuse AB at M and AC at N. Prove that MB NC 4 MA NA - 9. Proposed by Valcho Milchev Kardzhali Bulgaria Mathematical Reflections 1 2011 1 Senior problems 5181. Let a and b be positive real numbers such that a 2b and 2a b p. ab Prove that a b 2. Proposed by Titu Andreescu University of Texas at Dallas USA 5182. Let a b c be real numbers such that a b c. Prove that for each real number x the following inequality holds X x a 4 b c a b b c a c a b 2 b c 2 c a 2 . 6 cyc Proposed by Dorin Andrica Babes-Bolyai University Cluj-Napoca Romania 5183. Let ao 2 0 1 and an an-i ff1 n 1. Prove that for all n n 1 1 n 1 n 2 an ao 2 Proposed by Arkady Alt San Jose California USA 5184. Let Hn 1 1 n n 2. Prove that e -n 2H. Proposed by Tigran Hakobyan Vanadzor Armenia 5185. Let

• Toán học
• bồi dưỡng học sinh giỏi toán
• tài liệu toán thi học sinh giỏi
• toán nâng cao
• olympic toán học
• tài liệu toán nâng cao
• Bồi dưỡng học sinh giỏi
• Bồi dưỡng Toán THCS
• Biện pháp bồi dưỡng
• Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi
• Chuyên đề học sinh giỏi
• Giáo án bồi dưỡng học sinh giỏi môn Toán 6
• Giáo án bồi dưỡng học sinh giỏi môn Toán
• Giáo án bồi dưỡng học sinh giỏi Lớp 6
• Giáo án bồi dưỡng học sinh giỏi
• Giải Toán bằng máy tính Casio
• Kỹ năng giải Toán
• Bài tập Toán 6
• Ôn tập Toán 6
• Đề thi học sinh giỏi Toán
• Bài toán bồi dưỡng học sinh giỏi
• Toán lớp 8
• Bài toán bồi dưỡng học sinh giỏi Toán
• Bồi dưỡng học sinh giỏi lớp 8
• Bài toán học sinh giỏi Toán lớp 8
• Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi Toán lớp 9
• Bồi dưỡng học sinh giỏi Toán lớp 9
• Ôn tập Toán đại số lớp 9
• Bồi dưỡng học sinh giỏi Toán đại số lớp 9
• Bài tập bồi dưỡng học sinh giỏi Toán 9
• 10 trọng điểm bồi dưỡng học sinh giỏi
• Bồi dưỡng học sinh giỏi môn Toán
• Bồi dưỡng học sinh giỏi môn Toán 12
• Ôn tập Toán
• Bài tập Toán
• Bồi dưỡng học sinh giỏi Toán Hình học 12
• Bồi dưỡng học sinh giỏi Hình học
• Bồi dưỡng học sinh giỏi 12
• Khối đa diện
• Thể tích khối đa diện
• Phương pháp tọa độ trong không gian
• Phương trình mặt phẳng
• Khối tròn xoay
• Tọa độ không gian
• Bồi dưỡng học sinh giỏi Đại số Giải tích 12
• Bồi dưỡng học sinh giỏi Đại số Giải tích
• Bồi dưỡng học sinh giỏi Toán 12
• Ứng dụng đạo hàm
• Đồ thị hàm số
• Hàm số mũ
• Hàm số logarit
• Bồi dưỡng học sinh giỏi Đại số Giải tích
• Hàm số lũy thừa
• Phương pháp biến đổi biến số
• Phương trình số phức
• Dạng lượng giác
• Căn bậc hai số phức
• 20 chuyên đề bồi dưỡng HSG Toán 8
• Bồi dưỡng HSG môn Toán lớp 8
• Đề thi học sinh giỏi Toán 8
• Đề thi HSG môn Toán lớp 8
• Luyện thi học sinh giỏi môn Toán THCS
• Ôn thi Toán 8
• Bài tập Toán 8
• Thực hành giải toán tiểu học
• Giải toán tiểu học
• Bồi dưỡng học sinh giỏi tiểu học
• Bài toán về chuyển động
• Bài toán về suy luận logic
• Bài toán có nội dung hình học
• Giáo viên tiểu học
• Số thập phân
• Bài toán điền số vào phép tính
• Bài toán về chia hết
• Đề thi kết thúc học phần
• Đề thi kết thúc môn học
• Đề thi môn Bồi dưỡng học sinh giỏi môn Toán
• Giáo dục tiểu học
• Bồi dưỡng học sinh giỏi toán Đại số 9
• Bồi dưỡng học sinh giỏi toán Đại số
• Đại số 9
• Phương trình bậc chia
• Hệ phương trình
• Phương trình nghiệm nguyên
• Phương trình vô tỷ
• Bất phương trình quy về bậc nhất
• Giá trị lớn nhất
• Giá trị nhỏ nhất
• Học sinh giỏi Toán THCS
• Đề thi bồi dưỡng HSG Toán 12
• Đề bồi dưỡng Toán 12
• Đề thi HSG môn Toán 12
• Đề thi học sinh giỏi môn Toán
• Đề thi học sinh giỏi lớp 12
• Đề thi học sinh giỏi môn Toán THPT
• Ôn thi Toán 12
• Bài tập Toán 12
• Luyện thi HSG Toán 12
• Đề thi học sinh giỏi Toán học 9
• Nội dung bồi dưỡng Toán học
• Bồi dưỡng học sinh giỏi Toán học
• Bài tập học sinh giỏi Toán học
• Ôn tập Toán học
• Đề cương ôn tập Toán học
• Bồi dưỡng học sinh giỏi Toán 6
• Chuyên đề bồi dưỡng HSG môn Toán 6
• Bồi dưỡng số học lớp 6
• Đề thi học sinh giỏi môn Toán lớp 6
• Ôn thi Toán 6
• Bài tập số học lớp 6
• Bài tập bồi dưỡng học sinh giỏi Toán
• Bồi dưỡng học sinh giỏi Toán 9
• Toán lớp 9 nâng cao
• Bài tập Toán lớp 9
• Bài tập bồi dưỡng lớp 9
• Câu hỏi môn Toán
• Giải bài tập Toán lớp 9