TAILIEUCHUNG - Đề thi Olympic sinh viên thế giới năm 2002 ngày 1

" Đề thi Olympic sinh viên thế giới năm 2002 ngày 1 " . Đây là một sân chơi lớn để sinh viên thế giới có dịp gặp gỡ, trao đổi, giao lưu và thể hiện khả năng học toán, làm toán của mình. Từ đó đến nay, các kỳ thi Olympic sinh viênthế giới đã liên tục được mở rộng quy mô rất lớn. Kỳ thi này là một sự kiện quan trọng đối với phong trào học toán của sinh viên thế giới trong. | Solutions for problems in the 9th International Mathematics Competition for University Students Warsaw July 19 - July 25 2002 First Day Problem 1. A standard parabola is the graph of a quadratic polynomial y x2 ax b with leading coefficient 1. Three standard parabolas with vertices V1 V2 V3 intersect pairwise at points A1 A2 A3. Let A s A be the reflection of the plane with respect to the x axis. Prove that standard parabolas with vertices s A1 s A2 s A3 intersect pairwise at the points s V1 s V2 s V3 . Solution. First we show that the standard parabola with vertex V contains point A if and only if the standard parabola with vertex s A contains point s V . Let A a b and V v w . The equation of the standard parabola with vertex V v w is y x v 2 w so it contains point A if and only if b a v 2 w. Similarly the equation of the parabola with vertex s A a b is y x a 2 b it contains point s V v w if and only if w v a 2 b. The two conditions are equivalent. Now assume that the standard parabolas with vertices V1 and V2 V1 and V3 V2 and V3 intersect each other at points A3 A2 A1 respectively. Then by the statement above the standard parabolas with vertices s A1 and s A2 s A1 and s A3 s A2 and s A3 intersect each other at points V3 V2 V1 respectively because they contain these points. Problem 2. Does there exist a continuously differentiable function f R R such that for every x 2 R we have f x 0 and f0 x f f x Solution. Assume that there exists such a function. Since f 0 x f f x 0 the function is strictly monotone increasing. By the monotonity f x 0 implies f f x f 0 for all x. Thus f 0 is a lower bound for f 0 x and for all x 0 we have f x f 0 x f 0 1 x f 0 . Hence if x 1 then f x 0 contradicting the property f x 0. So such function does not exist. 1 Problem 3. Let n be a positive integer and let 1 ak _ vny k bk _ 2k-n for k _1 2 . . n. Show that a1 b1 . a2 b2 . . 1 2 an bn __ 0 n 1 Solution. Since kQ _ n _1 for all k 1 1 is equivalent to 2n n 11 1 n 1 n 1 1 21 22 2n - . 1

• Toán học
• Đề thi
• olympic sinh viêc quốc tế
• olympic sinh viên thế giớ
• bộ đề thi olympic
• luyện thi olympic quốc tế
• Đề thi THPT Quốc gia 2020
• Đề thi thử THPT Quốc gia
• Đề thi THPT Quốc gia
• Đề thi thử THPT Quốc gia môn Toán
• Đề thi thử THPT Quốc gia môn Văn
• Đề thi thử THPT Quốc gia môn Anh
• Đề thi thử THPT Quốc gia môn Hóa
• Đề thi thử THPT Quốc gia môn Lí
• Đề thi thử THPT Quốc gia môn Sử
• Đề thi thử THPT Quốc gia môn Địa
• Đề thi thử THPT Quốc gia môn GDCD
• Đề thi thử môn GDCD
• Đề thi THPT Quốc gia môn GDCD
• Ôn thi THPT Quốc gia
• Luyện thi THPT Quốc gia
• Ôn tập GDCD
• Ôn thi GDCD
• Bài tập GDCD
• Đề thi vào lớp 10
• Đề tuyển sinh vào lớp 10
• Đề thi vào lớp 10 năm 2020
• Đề thi vào lớp 10 môn Toán
• Đề thi vào lớp 10 môn Văn
• Đề thi vào lớp 10 môn Anh
• Đề thi vào lớp 10 môn Hóa
• Đề thi vào lớp 10 môn Lý
• Đề thi vào lớp 10 môn Sinh
• Đề thi vào lớp 10 môn Sử
• Đề thi vào lớp 10 môn Địa
• Đề tập huấn thi THPT Quốc gia năm 2020
• Đề tập huấn thi THPT Quốc gia môn Toán
• Đề thi thử môn Toán
• Đề thi THPT Quốc gia môn Toán
• Ôn tập Toán
• Ôn thi Toán
• Bài tập Toán
• ôn thi cao đẳng
• Đề thi thử đại học môn toán năm 2012
• đề thi toán đại học
• tài liệu luyện thi đại học
• bài tập trắc nghiệm
• cấu trúc đề thi đại học
• ngân hàng đề thi trắc nghiệm
• tài liệu ôn thi đại học
• bộ đề thi đại học
• đề thi thử đại học
• tuyển sinh đại học cao đẳng
• các đề thi đại học