TAILIEUCHUNG - ĐỀ THI TOÁN APMO (CHÂU Á THÁI BÌNH DƯƠNG)_ĐỀ 15

Tham khảo tài liệu 'đề thi toán apmo (châu á thái bình dương)_đề 15', khoa học tự nhiên, toán học phục vụ nhu cầu học tập, nghiên cứu và làm việc hiệu quả | XXII Asian Pacific Mathematics Olympiad March 2010 Time allowed 4 hours Each problem is worth 7 points The contest problems are to be kept confidential until they are posted on the official APMO website http competitions APMO . Please do not disclose nor discuss the problems over the internet until that date. Calculators are not allowed to use. Problem 1. Let ABC be a triangle with zBAC 90 . Let O be the circumcenter of the triangle ABC and let r be the circumcircle of the triangle BOC. Suppose that r intersects the line segment AB at P different from B and the line segment AC at Q different from C. Let ON be a diameter of the circle r. Prove that the quadrilateral APNQ is a parallelogram. Problem 2. For a positive integer k call an integer a pure k-th power if it can be represented as mk for some integer m. Show that for every positive integer n there exist n distinct positive integers such that their sum is a pure 2009-th power and their product is a pure 2010-th power. Problem 3. Let n be a positive integer. n people take part in a certain party. For any pair of the participants either the two are acquainted with each other or they are not. What is the maximum possible number of the pairs for which the two are not acquainted but have a common acquaintance among the participants Problem 4. Let ABC be an acute triangle satisfying the condition AB BC and AC BC. Denote by O and H the circumcenter and the orthocenter respectively of the triangle ABC. Suppose that the circumcircle of the triangle AHC intersects the line AB at M different from A and that the circumcircle of the triangle AHB intersects the line AC at N different from A. Prove that the circumcenter of the triangle MNH lies on the line OH. Problem 5. Find all functions f from the set R of real numbers into R which satisfy for all x y z 2 R the identity f f x f y f z f f x - f y f 2xy f z 2f xz - yz

TỪ KHÓA LIÊN QUAN
TAILIEUCHUNG - Chia sẻ tài liệu không giới hạn
Địa chỉ : 444 Hoang Hoa Tham, Hanoi, Viet Nam
Website : tailieuchung.com
Email : tailieuchung20@gmail.com
Tailieuchung.com là thư viện tài liệu trực tuyến, nơi chia sẽ trao đổi hàng triệu tài liệu như luận văn đồ án, sách, giáo trình, đề thi.
Chúng tôi không chịu trách nhiệm liên quan đến các vấn đề bản quyền nội dung tài liệu được thành viên tự nguyện đăng tải lên, nếu phát hiện thấy tài liệu xấu hoặc tài liệu có bản quyền xin hãy email cho chúng tôi.
Đã phát hiện trình chặn quảng cáo AdBlock
Trang web này phụ thuộc vào doanh thu từ số lần hiển thị quảng cáo để tồn tại. Vui lòng tắt trình chặn quảng cáo của bạn hoặc tạm dừng tính năng chặn quảng cáo cho trang web này.