TAILIEUCHUNG - Ebook Sự hội tụ của kỳ vọng có điều kiện và martingale trong đại số von Neumann: Phần 2

Nối tiếp nội dung phần 1 cuốn sách "Sự hội tụ của kỳ vọng có điều kiện và martingale trong đại số von Neumann", phần 2 giới thiệu các nội dung: Sự hội tụ của kỳ vọng có điều kiện và martingale trong đại số von Neumann. nội dung chi tiết. | CHƯƠNG 3. Sự HỘI TỤ CỦA KỲ VỌNG ĐIÊU KIỆN VÀ MARTINGALE TRONG ĐẠI số VON NEUMANN Kỳ vọng có điều kiện trong đại số von Neumann Nhắc lại trong lý thuyết xác suất cổ điển kỳ vọng có điều kiện của một biến ngẫu nhiên khả tích trên không gian xác suất Q F P đối với một ơ - truờng con G c F đuợc định nghĩa nhu là một biến ngẫu nhiên G- đo đuợc E G cho bởi Ị E G dP Ị ỆdP với mọi A eG. Cho A L Q F P và B Lx Q G P . Khi đó B là một đại số von Neumann con của A và kỳ vọng có điều kiện chỉ xem xét đối với các hàm bị chặn nhu là ánh xạ tuyến tính duơng EG A B có các tính chất eg 1 1 Hàm đổng nhất Tp fg Tp EG f g với mọi f E A g E B với T là một trạng thái chuẩn chính xác trên A cho bởi tích phân T f Ị fdP. JQ Công thức này phù hợp với sự tổng quát hóa lên đại số von-Neumann. . Định nghĩa. Cho ộ là một trạng thái chuẩn chính xác trong đại số von Neumann A và B là một đại số von Neumann con của A. Một ánh xạ tuyến tính 31 EB A B sao cho a EB 1 1 b ộ yxz ộ yEB x z với mọi y z G B x G A được gọi là một kỳ vọng điều kiện của A lên B đối với ộ. . Mệnh đề. Kỳ vọng điều kiện có các tính chất sau 1O EB yxz y EBx z với mọi x G A y z G B đặc biệt 100 EB lũy đẳng trong B 2O EBx EBx EB x x với x G A đặc biệt 200 EB dương 3O EB là chính xác 4o EB là chuẩn. Chứng minh. Trước tiên ta sẽ chứng tỏ E dương. Thật vậy vì ộ là chính xác và chuẩn nên giả sử rằng A tác động trong không gian biểu diễn cyclic GNS Hộ của nó với các phần tử cyclic tách trong đó ộ x x . Khi đó với y G B x G A ta có E x x y y y x xyỆ Ệ 0. Từ yỆ y G B là tập trù mật trong L2 B ộ suy ra E x x 0 với mọi x G A. Một cách tương tự ta chứng minh 1O bắt đầu từ đẳng thức ộ u yxzu ộ u E yxz u ộ u yE x zu với u y z G B x G A Điều kiện 2O dễ dàng suy ra từ E x - Ex x - Ex 0 tính dương của E được chứng minh và E Ex x Ex Ex E x Ex Ex Ex Ex Ex E Ex Ex Ex Ex. 3O được suy ra trực tiếp từ tính chính xác của ộ. Thật vậy cho x 0 32 Nếu Ex 0 thì 0 ộ Ex ộ x suy ra x 0. Tiếp theo ta chứng minh E là chuẩn. Cho xa là

• Trung học phổ thông
• Sự hội tụ của kỳ vọng có điều kiện
• Đại số von Neumann
• Sự hội tụ của kỳ vọng
• Kỳ vọng có điều kiện
• Sự hội tụ
• Martingale trong đại số von Neumann
• Sự hội tụ hầu đều
• Hội tụ hầu đều trong đại số von Neumann