TAILIEUCHUNG - Báo cáo toán học: "A Combinatorial Proof of the Sum of q-Cubes"

Tuyển tập các báo cáo nghiên cứu khoa học trên tạp chí toán học quốc tế đề tài: A Combinatorial Proof of the Sum of q-Cubes. | A Combinatorial Proof of the Sum of Ợ-Cubes Kristina C. Garrett Department of Mathematics and Computer Science Carleton College Minnesota USA kgarrett@ Kristen Hummel Department of Mathematics and Computer Science Carleton College Minnesota USA hummelk@ Submitted Nov 2 2003 Accepted Dec 15 2003 Published Jan 23 2004 MR Subject Classifications 05A17 05A19 Abstract We give a combinatorial proof of a ợ-analogue of the classical formula for the sum of cubes. 1 Introduction The classic formula for the sum of the first n cubes n X k k 1 I 1 2 n 1 2 J 1 is easily proved by mathematical induction. Many other proofs exist that connect this simple identity to various branches of mathematics. See 4 . The nature of the right hand side of the identity seems to suggest that a simple combinatorial proof should exist. Indeed Benjamin and Orrison give such a proof in 2 and other combinatorial proofs are given in 3 . In this paper we will give a -analogue of 1 and a bijective proof using integer partitions. We begin by reviewing a few of the basics of partition theory. Definition . An integer partition A of a positive integer n is a sequence of nonincreasing positive integers A Al A2 . Ak such that Al A2 Ak n. The Aị are the parts of the partition. The number n partitioned by A is called the size of the partition and is denoted A . Another method for representing a partition A is the graphical representation commonly referred to as the Ferrers shape which was introduced by Sylvester who was writing THE ELECTRONIC JOURNAL OF COMBINATORICS 11 2004 R9 1 about a proof described to him by . Ferrers. The Ferrers shape of a partition is an array of boxes left justified in which the number of boxes in the first row is equal to the size of the first part the number of boxes in the second row is equal to the size of the second part etc. For example the Ferrers diagram for the partition A 4 4 3 2 1 is shown in Figure 1. Figure 1 Ferrers Diagram for A 4 4 3 2 1 . .

• Báo cáo khoa học
• tài liệu báo cáo nghiên cứu khoa học
• cách trình bày báo cáo
• kiến thức toán học
• báo cáo toán học
• công trình toán học
• Nghiên cứu khoa học
• Phương pháp nghiên cứu khoa học
• Bài giảng Phương pháp nghiên cứu khoa học
• Báo cáo nghiên cứu khoa học
• Trình bày báo cáo nghiên cứu khoa học
• Văn phong sử dụng trong báo cáo khoa học
• Báo cáo khoa học công nghệ
• Đề tài nghiên cứu khoa học
• Nghiên cứu công nghệ làm phân vi sinh
• Báo cáo nghiên cứu phân vi sinh
• Báo cáo tình hình nghiên cứu khoa học
• Mẫu Báo cáo thực hiện nghiên cứu
• Trình bày Báo cáo thực hiện nghiên cứu
• Nội dung Báo cáo thực hiện nghiên cứu
• Hình thức Báo cáo thực hiện nghiên cứu
• Biên bản nghiên cứu khoa học
• Báo cáo khoa học và kỹ thuật
• Đề tài nghiên cứu khoa học y khoa
• Báo cáo nghiên cứu cấp nhà nước
• Nghiên cứu chất lượng chế phẩm thuốc
• Báo cáo nghiên cứu công nghệ sinh học
• Đề tài nghiên cứu thuốc sâu sinh học
• Báo cáo khoa học kỹ thuật
• Báo cáo quản lý chất thải sinh hoạt
• Báo cáo khoa học môi trường
• Nghiên cứu khoa học về môi trường
• Báo cáo nghiên cứu vệ sinh môi trường
• Nghiên cứu tình hình nhiễm độc Cadimi
• Báo cáo chế phẩm sinh học
• Báo cáo nghiên cứu ứng dụng sinh học
• Cách viết báo cáo khoa học
• Quy trình nghiên cứu khoa học
• Báo cáo kết quả nghiên cứu
• báo cáo khoa học
• tuyển tập báo cáo khoa học
• báo cáo ngành toán học
• báo cáo ngành vật lý
• báo cáo ngành chăn nuôi
• Nghiên cứu công nghệ phôi vô tính
• Báo cáo nghiên cứu nông nghiệp
• Báo cáo công nghệ xử lý chất thải
• Báo cáo nghiên cứu khoa học công nghệ
• Kết quả nghiên cứu lúa lai
• Cây lương thực
• Cây thực phẩm
• Một số nguyên tắc nghiên cứu khoa học
• Tiêu chuẩn báo cáo nghiên cứu khoa học
• Nguyên tắc báo cáo khoa học
• Báo cáo nghiên cứu công trình
• Nghiên cứu độ rỗng trong đá chứa dầu khí
• Nghiên cứu công nghệ UV–Fenton
• Nghiên cứu công nghệ xử lý nước thải
• Đề tài y tế đảm bảo an toàn người bệnh
• Báo cáo xây dựng hệ thống y tế
• Kỹ thuật viết báo cáo nghiên cứu
• Viết báo cáo nghiên cứu
• Báo cáo nghiên cứu
• khoa học
• Hình thức soạn thảo văn bản báo cáo
• Báo cáo nghiên cứu nước thải rượu
• Báo cáo công nghệ thiết bị UASB
• Đề tài công nghệ vi sinh
• luận văn mẫu
• người lính việt nam
• sau chiến tranh
• báo cáo ngành triết học
• báo cáo ngành lịch sử
• báo cáo ngành văn học