TAILIEUCHUNG - Báo cáo toán học: "RAMANUJAN’S METHOD IN q-SERIES CONGRUENCES"

Tuyển tập các báo cáo nghiên cứu khoa học hay nhất của tạp chí toán học quốc tế đề tài: học" RAMANUJAN’S METHOD IN q-SERIES CONGRUENCES. | RAMANUJAN S METHOD IN Ợ-SERIES CONGRUENCES By George E. Andrews 1 and RANjAN Roy Written in honor of Herb Wilf s 65th birthday Abstract. We show that the method developed by Ramanujan to prove 5 p 5n 4 and 7lp 7n 5 may in fact be extended to a wide variety of ợ-series and products including some with free parameters. 1. Introduction. Ramanujan 11 is the discoverer of the surprising fact that the partition function p n satishes numerous congruences. Among the inhnite family of such congruences the two simplest examples are p 5n 4 0 mod 5 and p 7n 5 0 mod 7 . Ramanujan used an ingenious and elementary argument to prove these congruences which relied on Jacobi s famous formula 10 last eqn. q q 1 n 1 - qn 3 X -1j 2j 1 qjj 1 2 n 1 j 0 where N-1 Ơ-4 a n A q N n 1 - Aqj . j 0 1 Partially supported by National Science Foundation Grant DMS-8702695-04 Typeset by Ạ S-TgX A rather more general result of this nature was proved in 3 p. 27 Th. to account for certain congruences connected with generalized Frobenius partitions. Indeed J. M. Gandhi 7 8 9 J. Ewell 5 L. Winquist 12 and many others cf. Gupta 10 Sec. have proved partition function congruences based on this idea. In all these theorems the underlying generating functions were either modular forms or simple linear combinations thereof. The point of this paper is to show that Ramanujan s original method is applicable to an inhnite number of congruence theorems including many non-modular functions dehned by q-series. Our main result is Theorem 1. Suppose p is a prime 3 and 0 a p and b are integers. Also a must be a quadratic nonresidue mod p. Suppose on 1 1 an z1 z2 . Zj is a doubly infinite sequence of Laurent polynomials overT with variables Z1 . Zj independent of q. Then there is an integer c such that the coefficient of zm1 zm2 zjm qpN in qc Ể qa n bn 1 5 q is divisible by p. For each integer m we shall denote by m the multiplicative inverse of m mod p. The integer c cp a b may be chosen as the .

• Báo cáo khoa học
• tài liệu báo cáo nghiên cứu khoa học
• cách trình bày báo cáo
• kiến thức toán học
• báo cáo toán học
• công trình toán học
• Nghiên cứu khoa học
• Phương pháp nghiên cứu khoa học
• Bài giảng Phương pháp nghiên cứu khoa học
• Báo cáo nghiên cứu khoa học
• Trình bày báo cáo nghiên cứu khoa học
• Văn phong sử dụng trong báo cáo khoa học
• Báo cáo khoa học công nghệ
• Đề tài nghiên cứu khoa học
• Nghiên cứu công nghệ làm phân vi sinh
• Báo cáo nghiên cứu phân vi sinh
• Báo cáo tình hình nghiên cứu khoa học
• Mẫu Báo cáo thực hiện nghiên cứu
• Trình bày Báo cáo thực hiện nghiên cứu
• Nội dung Báo cáo thực hiện nghiên cứu
• Hình thức Báo cáo thực hiện nghiên cứu
• Biên bản nghiên cứu khoa học
• Báo cáo khoa học và kỹ thuật
• Đề tài nghiên cứu khoa học y khoa
• Báo cáo nghiên cứu cấp nhà nước
• Nghiên cứu chất lượng chế phẩm thuốc
• Báo cáo nghiên cứu công nghệ sinh học
• Đề tài nghiên cứu thuốc sâu sinh học
• Báo cáo khoa học kỹ thuật
• Báo cáo quản lý chất thải sinh hoạt
• Báo cáo khoa học môi trường
• Nghiên cứu khoa học về môi trường
• Báo cáo nghiên cứu vệ sinh môi trường
• Nghiên cứu tình hình nhiễm độc Cadimi
• Báo cáo chế phẩm sinh học
• Báo cáo nghiên cứu ứng dụng sinh học
• Cách viết báo cáo khoa học
• Quy trình nghiên cứu khoa học
• Báo cáo kết quả nghiên cứu
• báo cáo khoa học
• tuyển tập báo cáo khoa học
• báo cáo ngành toán học
• báo cáo ngành vật lý
• báo cáo ngành chăn nuôi
• Nghiên cứu công nghệ phôi vô tính
• Báo cáo nghiên cứu nông nghiệp
• Báo cáo công nghệ xử lý chất thải
• Báo cáo nghiên cứu khoa học công nghệ
• Kết quả nghiên cứu lúa lai
• Cây lương thực
• Cây thực phẩm
• Một số nguyên tắc nghiên cứu khoa học
• Tiêu chuẩn báo cáo nghiên cứu khoa học
• Nguyên tắc báo cáo khoa học
• Báo cáo nghiên cứu công trình
• Nghiên cứu độ rỗng trong đá chứa dầu khí
• Nghiên cứu công nghệ UV–Fenton
• Nghiên cứu công nghệ xử lý nước thải
• Đề tài y tế đảm bảo an toàn người bệnh
• Báo cáo xây dựng hệ thống y tế
• Kỹ thuật viết báo cáo nghiên cứu
• Viết báo cáo nghiên cứu
• Báo cáo nghiên cứu
• khoa học
• Hình thức soạn thảo văn bản báo cáo
• Báo cáo nghiên cứu nước thải rượu
• Báo cáo công nghệ thiết bị UASB
• Đề tài công nghệ vi sinh
• luận văn mẫu
• người lính việt nam
• sau chiến tranh
• báo cáo ngành triết học
• báo cáo ngành lịch sử
• báo cáo ngành văn học