TAILIEUCHUNG - ĐỀ THI TOÁN APMO (CHÂU Á THÁI BÌNH DƯƠNG)_ĐỀ 14

Tham khảo tài liệu 'đề thi toán apmo (châu á thái bình dương)_đề 14', khoa học tự nhiên, toán học phục vụ nhu cầu học tập, nghiên cứu và làm việc hiệu quả | XXI Asian Pacific Mathematics Olympiad March 2009 Problem 1. Consider the following operation on positive real numbers written on a blackboard Choose a number r written on the blackboard erase that number and then write a pair of positive real numbers a and b satisfying the condition 2r2 ab on the board. Assume that you start out with just one positive real number r on the blackboard and apply this operation k2 1 times to end up with k2 positive real numbers not necessarily distinct. Show that there exists a number on the board which does not exceed kr. Solution Using AM-GM inequality we obtain 1 2 2ab a2 b2 1 r2 ab a2b2 a2b2 a2 b2 Consequently if we let Si be the sum of the squares of the reciprocals of the numbers written on the board after I operations then Si increases as I increases that is So S1 Sk2-1. Therefore if we let s be the smallest real number written on the board after k2 1 operations then -2 t2 for any number t among k2 numbers on the board and hence k x s2 Sk2-1 So r2 which implies that s kr as desired. Remark. The nature of the problem does not change at all if the numbers on the board are restricted to be positive integers. But that may mislead some contestants to think the problem is a number theoretic problem rather than a combinatorial problem. 1 Problem 2. Let a1 a2 a3 a4 a5 be real numbers satisfying the following equations ai I a2 I a3 I a4 I a5 1 - 12. 7 2 I o 7 2 I TO I . TO I r T2 for k 1 2 3 4 5. k 2 1 k 2 2 k2 3 k 2 4 k 2 5 k2 a1 a2 a3 a4 a5 Find the value of 37 38 39 40 41 Express the value in a single fraction. Solution1 Let R x J - 2 X2 3 x . R 1 1 R 2 4 R 3 9 R 4 16 R 5 2-5 and R 6 is the value to be found. Let s put P x x2 1 x2 2 x2 3 x2 4 x2 5 and Q x R x P x . Then for k 1 2 3 4 5 we get Q k R k P k that is P k k2Q k 0. Since k2 P x x2Q x is a polynomial of degree 10 with roots 1 2 3 4 5 we get P x x2Q x A x2 1 x2 4 x2 9 x2 16 x2 25 . Putting x 0 we get of by P x yields A .P 0 . . 1 4 9 16 25 12o . Finally dividing both sides 1

Diệu Nga 91 9 pdf

Upload

Bấm vào đây để xem trước nội dung

Tải xuống

TÀI LIỆU LIÊN QUAN

Bộ đề ôn tập cuối học kì 1 môn Toán lớp 10 và 11 năm học 2020-2021

232 511 10

Đề tập huấn thi THPT Quốc gia năm 2020 môn Toán có đáp án - Sở GD&ĐT Bắc Ninh

9 332 2

Đề thi thử HSG môn Toán 12 năm 2020-2021 - Trường THPT chuyên Hùng Vương (Lần 2)

1 112 2

Đề thi học kì 1 lớp 7 môn Toán năm 2017-2018 có đáp án - Trường THCS Bình An

4 322 7

Đề thi học kì 1 lớp 7 môn Toán năm 2017-2018 có đáp án - Trường THCS Hồ Hảo Hớn

5 262 2

Đề thi học kì 1 lớp 7 môn Toán năm 2017-2018 có đáp án - Trường THCS Tân Thành

8 197 0

Đề thi học kì 1 lớp 7 môn Toán năm 2017-2018 có đáp án - Trường THCS Vân Hội

4 189 0

Đề thi học kì 1 lớp 7 môn Toán năm 2017 có đáp án - Trường THCS Vĩnh Bảo

4 198 1

Đề thi học kì 1 lớp 6 môn Toán năm 2017-2018 có đáp án - Trường THCS Bình An

3 246 0

Đề thi học kì 1 lớp 6 môn Toán năm 2017-2018 có đáp án - Trường THCS Hồ Hảo Hớn

5 241 2

TÀI LIỆU XEM NHIỀU

Một Case Về Hematology (1)

8 462343 61

Giới thiệu :Lập trình mã nguồn mở

14 26104 79

Tiểu luận: Tư tưởng Hồ Chí Minh về xây dựng nhà nước trong sạch vững mạnh

13 11350 542

Câu hỏi và đáp án bài tập tình huống Quản trị học

14 10553 466

Phân tích và làm rõ ý kiến sau: “Bài thơ Tự tình II vừa nói lên bi kịch duyên phận vừa cho thấy khát vọng sống, khát vọng hạnh phúc của Hồ Xuân Hương”

3 9844 108

Ebook Facts and Figures – Basic reading practice: Phần 1 – Đặng Tuấn Anh (Dịch)

249 8891 1161

Tiểu luận: Nội dung tư tưởng Hồ Chí Minh về đạo đức

16 8507 426

Mẫu đơn thông tin ứng viên ngân hàng VIB

8 8101 2279

Giáo trình Tư tưởng Hồ Chí Minh - Mạch Quang Thắng (Dành cho bậc ĐH - Không chuyên ngành Lý luận chính trị)

152 7765 1793

Đề tài: Dự án kinh doanh thời trang quần áo nữ

17 7274 268

TỪ KHÓA LIÊN QUAN

TÀI LIỆU MỚI ĐĂNG

Giáo án mầm non chương trình đổi mới: Gia đình vui nhộn

4 392 3 28-12-2024

THE ANTHROPOLOGY OF ONLINE COMMUNITIES BY Samuel M.Wilson and Leighton C. Peterson

19 227 4 28-12-2024

B2B Content Marketing: 2012 Benchmarks, Budgets & Trends

17 229 3 28-12-2024

Word Games with English 1

65 142 1 28-12-2024

Báo cáo nghiên cứu khoa học " Sự nhất quán phát triển kinh tế thị trường XHCN trong xây dựng xã hội hài hoà của Trung Quốc và đổi mới của Việt Nam "

8 145 1 28-12-2024

The Ombudsman Enterprise and Administrative Justice

309 143 0 28-12-2024

Lập trình Java cơ bản : Luồng và xử lý file part 8

5 141 1 28-12-2024

Data Mining Classification: Basic Concepts, Decision Trees, and Model Evaluation Lecture Notes for Chapter 4 Introduction to Data Mining

101 140 1 28-12-2024

Báo cáo khoa học: "A rare coexistence of adrenal cavernous hemangioma with extramedullar hemopoietic tissue: a case report and brief review of the literature"

4 106 0 28-12-2024

SQL và PL/SQLCơ bản.Oracle cơ bản - SQL và PL/SQLMỤC LỤCMỤC LỤC ... CHƯƠNG

104 162 0 28-12-2024

TÀI LIỆU HOT

Mẫu đơn thông tin ứng viên ngân hàng VIB

8 8101 2279

Giáo trình Tư tưởng Hồ Chí Minh - Mạch Quang Thắng (Dành cho bậc ĐH - Không chuyên ngành Lý luận chính trị)

152 7765 1793

Ebook Chào con ba mẹ đã sẵn sàng

112 4409 1371

Ebook Tuyển tập đề bài và bài văn nghị luận xã hội: Phần 1

62 6305 1268

Ebook Facts and Figures – Basic reading practice: Phần 1 – Đặng Tuấn Anh (Dịch)

249 8891 1161

Giáo trình Văn hóa kinh doanh - PGS.TS. Dương Thị Liễu

561 3843 680

Giáo trình Sinh lí học trẻ em: Phần 1 - TS Lê Thanh Vân

122 3920 609

Giáo trình Pháp luật đại cương: Phần 1 - NXB ĐH Sư Phạm

274 4719 565

Tiểu luận: Tư tưởng Hồ Chí Minh về xây dựng nhà nước trong sạch vững mạnh

13 11350 542

Bài tập nhóm quản lý dự án: Dự án xây dựng quán cafe

35 4511 490