TAILIEUCHUNG - Handbook of mathematics for engineers and scienteists part 29

An equilateral (or regular) triangle is a triangle with all three sides equal (Fig. 3. All angles of an equilateral triangle are equal to 60c. In an equilateral triangle, the circum-radius R and the inradius r satisfy the relation R = 2r. | 164 Algebra 2o. A constant K is called an upper bound for the real roots of equation or the polynomial Pn x if equation has no real roots greater than or equal to K in a similar way one defines a lower and an upper bound for positive and negative roots of an equation or the corresponding polynomial. Let K1 be an upper bound for the positive roots of the polynomial Pn x K2 be an upper bound for the positive roots of the polynomial Pn -x K3 0 be an upper bound for the positive roots of the polynomial XnPn 1 x K4 0 be an upper bound for the positive roots of the polynomial xnPn -1 x . Then all nonzero real roots of the polynomial Pn x if they exist belong to the intervals -K2 -1 K and 1 K3 Ki . Next we describe three methods for finding upper bounds for positive roots of a polynomial. Maclaurin method. Suppose that the first m leading coefficients of the polynomial are nonnegative . an 0 an-1 0 . an-m 1 0 and the next coefficient is negative an-m 0. Then K 1 1 m an is an upper bound for the positive roots of this polynomial where B is the largest of the absolute values of negative coefficients of Pn x . Example 3. Consider the fourth-degree equation from Example 2. In this case m 2 B 36 and formula yields K K1 1 36 9 1 2 3. Now consider the polynomial P4 -x 9x4 -9x2 36x 1. Its positive roots has the upper bound K2 1 9 9 1 2 2. For the polynomial x4P4 1 x x4 -36x3 -9x2 9 we have m 1 K3 1 36 37. Finally for the polynomial x4P4 -1 x x4 36x3 - 9x2 9 we have m 2 k4 1 91 2 4. Thus if P4 x has real roots they must belong to the intervals -2 -1 4 and 1 37 3 . Newton method. Suppose that for x c the polynomial Pn x and all its derivatives Pn x . Pnn x take positive values. Then c is an upper bound for the positive roots of Pn x . Example 4. Consider the polynomial from Example 2 and calculate the derivatives P4 x 9x4 - 9x2 - 36x 1 P4 x 36x3 - 18x - 36 P4 x 108x2 - 18 P4 x 216x P4 x 216. It is easy to check that for x 2 this polynomial

• Toán học
• toán học quốc tế
• toán học trong kỹ thuật
• hàm số lượng giác
• quy luật trong toán học
• toán học trong nghiên cứu
• Đáp số toán học quốc tế
• Đề thi toán học quốc tế
• Đề toán học trẻ quốc tế
• Toán quốc tế CIMC 2015
• Toán quốc tế
• Thanh toán quốc tế
• bài giảng thanh toán quốc tế
• giáo trình thanh toán quốc tế
• nghiệp vụ thanh toán quốc tế
• tài liệu thanh toán quốc tế
• lý thuyết thanh toán quốc tế
• Hình thức thanh toán quốc tế
• Hợp đồng thương mại quốc tế
• Thanh toán giao dịch quốc tế
• Hoạt động tài chính quốc tế
• Phương pháp thanh toán quốc tế
• Các phương tiện thanh toán quốc tế
• phương tiện thanh toán quốc tế
• bài giảng phương tiện thanh toán quốc tế
• tài liệu phương tiện thanh toán quốc tế
• nhập môn Kinh tế học Vi mô
• kinh tế vi mô
• kinh tế vĩ mô
• kinh tế phát triển
• kinh tế lượng
• Luận văn tốt nghiệp đại học
• Phân tích nghiệp vụ thanh toán quốc tế
• Hiệu quả nghiệp vụ thanh toán quốc tế
• Khái quát về BIDV Cần Thơ
• Nghiệp vụ thanh toán quốc tế BIDV
• Thanh toán trong kinh doanh quốc tế
• Kinh doanh quốc tế
• Chứng từ quốc tế
• tài liệu học đại học
• chuyên ngành ngoại thương
• Phương thức thanh toán quốc tế
• Tỉ giá hối đoái
• Phương pháp biểu thị tỉ giá
• Bài giảng Kinh tế học Quốc tế
• Kinh tế học Quốc tế
• Kinh tế học
• Hệ thống tiền tệ quốc tế
• Cán cân thanh toán quốc tế
• Tài khoản và thu nhập quốc dân
• Câu hỏi vấn đáp Thanh toán quốc tế
• Câu hỏi Thanh toán quốc tế
• Bài tập Thanh toán quốc tế
• Quản lý ngoại hối
• Tỷ giá hối đoái
• Thị trường hối đoái
• Thị trường tài chính
• Các kì thi Toán quốc tế
• Toán quốc tế Kangaroo
• Ôn thi Toán quốc tế
• Đề thi Toán quốc tế
• International Kangaroo Mathematic Contest
• Kinh tế quốc tế
• Thị trường ngoại hối
• Đề thi Toán khu vực Châu Á
• Đề thi Toán khu vực Thái Bình Dương
• Đề thi Toán quốc tế 2009
• Đề thi Toán
• Đề cương môn Thanh toán quốc tế
• Nghiệp vụ hối đoái quốc tế
• Hướng dẫn học tập Thanh toán quốc tế
• Môn học Thanh toán quốc tế
• Tỷ giá hối đối
• Thị trường hối đối
• Thẻ thanh toán
• kinh tế tài chính
• phương thức thanh toán
• bài giảng Cán cân thanh toán quốc tế
• tài liệu Cán cân thanh toán quốc tế
• khoa học giáo dục
• học thuyết kinh tế
• kinh tế chính trị học
• phát triển kinh tế
• Thương mại quốc tế
• Ngoại thương
• Đầu tư nước ngoài
• Cán cân thanh toán quốc
• Chuẩn mực quốc tế về báo cáo tài chính
• Đào tạo chuẩn mực quốc tế về báo cáo tài chính
• Đào tạo kế toán quốc tế
• Thị trường lao động ngành kế toán
• Thông lệ kế toán quốc tế
• Luận văn Thạc sĩ
• Luận văn Thạc sĩ Khoa học kinh tế
• Khoa học kinh tế
• Quản lý kinh tế
• Tóm tắt luận văn Thạc sĩ Luật học
• Tóm tắt luận văn Thạc sĩ
• Luận văn Thạc sĩ Luật học
• Luật Quốc tế
• Quy định của pháp luật quốc tế
• Đề thi sau đại học Toán kinh tế
• Bài thi Toán kinh tế
• Câu hỏi thi Toán kinh tế
• Luyện thi Toán kinh tế
• Nội dung thi Toán kinh tế