TAILIEUCHUNG - Đề thi Olympic sinh viên thế giới năm 1995

" Đề thi Olympic sinh viên thế giới năm 1995 " . Đây là một sân chơi lớn để sinh viên thế giới có dịp gặp gỡ, trao đổi, giao lưu và thể hiện khả năng học toán, làm toán của mình. Từ đó đến nay, các kỳ thi Olympic sinh viênthế giới đã liên tục được mở rộng quy mô rất lớn. Kỳ thi này là một sự kiện quan. | International Competition in Mathematics for Universtiy Students in Plovdiv Bulgaria 1995 1 PROBLEMS AND SOLUTIONS First day Problem 1. 10 points Let X be a nonsingular matrix with columns X1 X2 . Xn. Let Y be a matrix with columns X2 X3 . Xn 0. Show that the matrices A YX-1 and B X-1Y have rank n 1 and have only 0 s for eigenvalues. Solution. Let J aij be the n x n matrix where ay 1 if i j 1 and aij 0 otherwise. The rank of J is n 1 and its only eigenvalues are 00s. Moreover Y XJ and A YX-1 XJX-1 B X-1 Y J. It follows that both A and B have rank n 1 with only 00s for eigenvalues. Problem 2. 15 points Let f be a continuous function on 0 1 such that for every x 2 0 1 we have f t dt - . Show that f 2 t dt -. Jx 2 Jo 3 Solution. From the inequality 1 1 1 1 0 f x x 2 dx f 2 x dx 2 xf x dx x2dx J0 Jo Jo Jo we get r1 1 1 1 1 f2 x dx 2 xf x dx x2dx 2 xf x dx --. Jo Jo Jo Jo 3 From the hypotheses we have J J f t dtdx J . This completes the proof. 3 x dx or tf t dt 2o Problem 3. 15 points Let f be twice continuously differentiable on 0 1 such that lim f0 x 1 and lim f00 x 1. Show that X 0 X 0 . f x lim o f 0 x 0. x 2 Solution. Since f0 tends to 1 and f tends to 1 as x tends to 0 there exists an interval 0 r such that f 0 x 0 and f00 x 0 for all x 2 0 r . Hence f is decreasing and f0 is increasing on 0 r . By the mean value theorem for every 0 x x0 r we obtain f x - f xo f0 x - xo 0 for some 2 x x0 . Taking into account that f0 is increasing f0 x f0 0 we get f 0 z X _ f x - f x0 x x0 f0 x x x0 f0 x 0 Taking limits as x tends to 0 we obtain r f x f x -20 lim inf lim sup f0 x . .0. f0 x Since this happens for all x0 2 0 r we deduce that lim fh 0. f 0 x 0 lim f x . exists and f 0 x Problem 4. 15 points Let F 1 1 R be the function defined by i x2 dt F L nW Show that F is one-to-one . injective and find the range . set of values of F . Solution. From the definition we have x1 F0 x ---- x 1 . ln x Therefore F0 x 0 for x 2 1 1 . Thus F is strictly increasing and hence .

• Toán học
• Đề thi
• olympic sinh viêc quốc tế
• olympic sinh viên thế giớ
• bộ đề thi olympic
• luyện thi olympic quốc tế
• Đề thi THPT Quốc gia 2020
• Đề thi thử THPT Quốc gia
• Đề thi THPT Quốc gia
• Đề thi thử THPT Quốc gia môn Toán
• Đề thi thử THPT Quốc gia môn Văn
• Đề thi thử THPT Quốc gia môn Anh
• Đề thi thử THPT Quốc gia môn Hóa
• Đề thi thử THPT Quốc gia môn Lí
• Đề thi thử THPT Quốc gia môn Sử
• Đề thi thử THPT Quốc gia môn Địa
• Đề thi thử THPT Quốc gia môn GDCD
• Đề thi thử môn GDCD
• Đề thi THPT Quốc gia môn GDCD
• Ôn thi THPT Quốc gia
• Luyện thi THPT Quốc gia
• Ôn tập GDCD
• Ôn thi GDCD
• Bài tập GDCD
• Đề thi vào lớp 10
• Đề tuyển sinh vào lớp 10
• Đề thi vào lớp 10 năm 2020
• Đề thi vào lớp 10 môn Toán
• Đề thi vào lớp 10 môn Văn
• Đề thi vào lớp 10 môn Anh
• Đề thi vào lớp 10 môn Hóa
• Đề thi vào lớp 10 môn Lý
• Đề thi vào lớp 10 môn Sinh
• Đề thi vào lớp 10 môn Sử
• Đề thi vào lớp 10 môn Địa
• Đề tập huấn thi THPT Quốc gia năm 2020
• Đề tập huấn thi THPT Quốc gia môn Toán
• Đề thi thử môn Toán
• Đề thi THPT Quốc gia môn Toán
• Ôn tập Toán
• Ôn thi Toán
• Bài tập Toán
• ôn thi cao đẳng
• Đề thi thử đại học môn toán năm 2012
• đề thi toán đại học
• tài liệu luyện thi đại học
• bài tập trắc nghiệm
• cấu trúc đề thi đại học
• ngân hàng đề thi trắc nghiệm
• tài liệu ôn thi đại học
• bộ đề thi đại học
• đề thi thử đại học
• tuyển sinh đại học cao đẳng
• các đề thi đại học