TAILIEUCHUNG - Xung quanh một bài toán thi IMO

Bài viết "Xung quanh một bài toán thi IMO" đưa ra ví dụ về một dạng toán trong bài thi IMO và các cách chứng minh bài toán trên bằng phương pháp sử dụng các bất đẳng thức số học khác nhau. Mời các bạn cùng tham khảo! | Hội thảo khoa học Hưng Yên 25-26 02 2017 XUNG QUANH MỘT BÀI TOÁN THI IMO Vũ Tiến Việt Học viện An ninh nhân dân Với tam giác ABC ta ký hiệu - Các góc A B C - Các cạnh a BC b CA c AB - Các đường cao h a hb hc - Các trung tuyến m a mb mc - Các phân giác la lb lc - Bán kính đường tròn nội tiếp ngoại tiếp r R - Nửa chu vi p 12 a b c - Diện tích S Năm 1961 kỳ thi IMO tại Budapest - Hungary có bài toán số 2 sau1 Cho a b c là độ dài các cạnh và S là diện tích của một tam giác. Chứng minh bất đẳng thức a2 b2 c2 gt 4 3S . Khi nào thì xảy ra dấu Chứng minh. Cách 1. Ta có p a p b p c p q 3 p a p b p c 6 3 3 p3 p a p b p c 6 27 Suy ra p4 S2 p p a p b p c 6 27 p 2 a b c 2 a b c2 2 ab bc ca 2 2 S6 3 3 12 3 12 3 a2 b2 c2 6 4 3 Dẫn đến bất đẳng thức cần phải chứng minh. 1 Bài toán này do R. Weitzenbock đưa ra năm 1919. 49 Hội thảo khoa học Hưng Yên 25-26 02 2017 Dễ thấy dấu xảy ra khi và chỉ khi tam giác đều. Theo chứng minh trên ta còn thấy a2 b2 c2 2 ab bc ca S6 12 3 12 3S 6 a2 b2 c2 2 ab bc ca 12 3S 2 a2 b2 c2 2 ab bc ca 6 3 a2 b2 c2 12 3S a b 2 b c 2 c a 2 6 3 a2 b2 c2 2 2 2 1h 2 2 2 i a b c gt 4 3S a b b c c a 1 3 Cách 2. Ta chứng minh bất đẳng thức quot mạnh quot hơn 2 2 1h 2 2 2 2 i a b c gt 4 3S a b b c c a 2 2 Thật vậy ta thấy 2 a2 b2 c2 2 ab bc ca a b 2 b c 2 c a 2 1 1 1 4S a b 2 b c 2 c a 2 sin A sin B sin C 1 Dễ thấy hàm f x sin x là hàm lồi trên 0 π nên ta được f A f B f C A B C π 2 gt f f 3 3 3 3 Từ đó ta được bất đẳng thức cần phải chứng minh. Dễ thấy dấu xảy ra khi và chỉ khi tam giác đều. Cách 3. Ta dễ dàng thấy 1 1 1 2 2 2 a b c gt ab bc ca 2S sin A sin B sin C Đến đây theo cách 2 ta được bất đẳng thức cần phải chứng minh. Dễ thấy dấu xảy ra khi và chỉ khi tam giác đều. Theo chứng minh này ta còn có bất đẳng thức ab bc ca gt 4 3S 3 Năm 1938 P. Finsler và H. Hadwiger nêu ra bất đẳng thức quot mạnh quot hơn các bất đẳng thức Weitzenbock và 1 2 như sau Với mọi tam giác ta có a2 b2 c2 gt 4 3S a b 2 b c 2 c a 2 4 50 Hội thảo khoa học Hưng Yên 25-26 02 2017 Chứng .

• Toán học
• Hội thảo khoa học Toán học
• Bất đẳng thức Cauchy Schwarz
• Bất đẳng thức Finsler Hadwiger
• Bất đẳng thức Gerretsen
• Bất đẳng thức Euler
• Bất đẳng thức Weitzenbock
• Kỷ yếu hội thảo khoa học
• Hội thảo khoa học
• Các chuyên đề Toán học
• Chuyên đề bồi dưỡng Toán
• Phép biện chứng quy nạp
• Đồng nhất thức
• Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi
• Chuyên đề toán
• Chuyên đề môn Toán
• Kỉ yếu trại hè
• Hội thảo khoa học sinh viên
• Nguyên lý kế toán
• Kế toán tài chính
• Môn học kế toán kiểm toán
• Công cụ quản lý kinh tế tài chính
• Giảng dạy học phần Kế toán thuế
• Kế toán thuế
• Nguồn nhân lực kế toán thuế
• Kế toán thuế trong doanh nghiệp
• Đào tạo ngành Toán kinh tế
• Ngành Toán kinh tế
• Đại học Tài Chính – Marketing
• Chương trình đào tạo
• Toán kinh tế
• Kỷ yếu Hội thảo Khoa học Quốc tế
• Dữ liệu trong kế toán quản trị
• Sử dụng công nghệ trong kế toán quản trị
• Nâng cao giá trị doanh nghiệp
• Nâng cao hoạt động của doanh nghiệp
• Kỷ yếu Hội thảo khoa học quốc gia
• Hội thảo khoa học Quản lý và hỗ trợ người học
• Giáo dục đại học
• Thuật toán kết hợp Stacking
• Quy trình xử lý dữ liệu
• Dự đoán xếp loại thi
• Hội thảo khoa học về Thương mại
• Khai phá dữ liệu
• Thuật toán khai phá tập mục thường xuyên
• Cơ sở dữ liệu lớn
• Thuật toán RSFPGrowth
• Hội thảo Phân tích quản trị dữ liệu thông minh
• Trí tuệ nhân tạo
• Môi trường kiểm toán
• Thiết kế quy trình kiểm toán
• Trí tuệ nhân tạo trong kế toán
• Mô hình tăng trưởng kinh tế
• Vốn con người
• Toán học ứng dụng
• Mô hình lý thuyết tăng trưởng tân cổ điển
• Pháp luật kinh doanh
• Pháp luật Việt Nam về thu hồi đất
• Kiểm toán độc lập
• Giải quyết tranh chấp hợp đồng tín dụng
• Pháp luật cạnh tranh
• Hội thảo Khoa học Gắn kết đào tạo với doanh nghiệp
• Liên kết giữa trường đại học và doanh nghiệp
• Bài toán chất lượng nguồn nhân lực
• Đào tạo theo hướng tiếp cận năng lực
• Đào tạo định hướng ứng dụng nghề nghiệp
• Hội thảo khoa học Công nghệ thông tin
• Công nghệ số
• Công tác quản lý nhà nước
• Quản trị tài chính kế toán
• Quản trị nội bộ
• Thương mại điện tử
• Doanh nghiệp thương mại điện tử
• Điện toán đám mây
• Mô hình Dịch vụ trả phí
• Hội thảo khoa học về Cơ khí động lực
• Industrial Internet of Things
• Giám sát tổng thể hiệu suất máy
• Mô hình băng tải phân loại sản phẩm
• Điện toán biên
• Mô phỏng tính toán sức kháng
• Dầm bê tông cốt thép
• Ăn mòn cốt thép
• Hạ tầng giao thông
• Mạng nơ ron nhân tạo
• Dự báo giá nhà ở
• Thuật toán Học máy
• Mạng nơ ron đa tầng
• Quản trị dữ liệu lớn
• Hệ thống IoT
• Công nghệ điện toán đám mây
• Điện toán sương mù
• Hiệu quả tài chính doanh nghiệp
• Thông tin kế toán
• Giải pháp huy động vốn cho doanh nghiệp
• Nghiên cứu thước đo EVA
• Mặt đường bê tông xi măng
• Nền đàn hồi
• Tải trọng bánh xe
• Phương pháp tính toán hệ mặt đường
• Tường vây hố đào sâu
• Phân tích ứng xử tường vây hố đào sâu
• Bài toán địa kỹ thuật
• Mô hình Mohr Coulomb
• Môi giới chứng khoán
• Dịch vụ môi giới chứng khoán
• Công ty chứng khoán
• Mô hình toán có cấu trúc
• Tư vấn đầu tư chứng khoán
• Câu hỏi trắc nghiệm khách quan
• Đánh giá kết quả học tập
• Cơ sở toán học
• Toán tiểu học
• Giáo dục Tiểu học
• Chuyên đề Toán học
• Phương pháp giải phương trình vô tỷ
• Đề thi học sinh giỏi môn Toán
• Bài tập Toán 12
• Kỷ yếu Toán học
• Bài toán hình học phẳng