TAILIEUCHUNG - Bài giảng Toán tài chính - Chương 6: Phương trình vi phân vầ ứng dụng
Bài giảng "Toán tài chính - Chương 6: Phương trình vi phân và ứng dụng" cung cấp cho người học các kiến thức: Khái niệm, cấp của phươn trình vi phân, phương trình vi phân cấp 1, nghiệm tổng quát dạng ẩn,. . | Bài giảng Toán tài chính - Chương 6: Phương trình vi phân vầ ứng dụng PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN & ỨNG DỤNG CHƯƠNG 6 1 KHÁI NIỆM CHUNG Trong thực tế khi nghiên cứu sự phụ thuộc lẫn nhau giữa các đối tượng, nhiều khi chúng ta không thể thiết lập trực tiếp mối quan hệ phụ thuộc dạng hàm số giữa các đối tượng đó, mà chỉ có thể thiết lập mối liên hệ giữa các đối tượng mà ta cần tìm mối quan hệ hàm số, cùng với đạo hàm hoặc tích phân của hàm số chưa biết ấy. Trong nhiều mô hình, hệ thức liên hệ được viết dưới dạng phương trình có chứa đạo hàm, đó là phương trình vi phân. 2 ĐỊNH NGHĨA Phương trình mà trong đó có xuất hiện biến số độc lập, hàm cần tìm và các đạo hàm (hay vi phân) của nó gọi chung là phương trình vi phân. Ví dụ. dy y (y '+ x )- x y ' = 0 ; 2 = 2xy dx ( F x , y , y ', y ¢¢, ., y )= 0 (n ) 3 CẤP CỦA PTVP Cấp của phương trình vi phân là cấp cao nhất của đạo hàm có mặt trong phương trình. Phương trình vi phân cấp một là phương trình có dạng: F (x , y , y ') = 0 hay y ' = f (x , y ) Phương trình vi phân cấp hai là phương trình có dạng: Phương trình vi phân cấp n là phương trình có dạng: ( ¢ ¢¢ F x , y , y , y , ., y ) (n ) = 0 4 VÍ DỤ Nêu cấp của các PTVP sau: a ) y (y '+ x )- x 2y ' = 0 b ) (2x + 1)dx + x 2 (y - 1)dy = 0 c ) y '' = 4 xy 2 - 2xy ' 5 VÍ DỤ THỰC TẾ VỀ PTVP Một bể chứa 20 kg muối hòa tan trong 5000 lít nước. Nước muối chứa 0,03 kg muối mỗi lít được đổ vào bể với tốc độ 25 lít/phút. Dung dịch được trộn kỹ và thoát ra khỏi bể với cùng tốc độ. Sau 30 phút thì trong bể còn lại bao nhiêu muối? 6 VÍ DỤ Gọi y(t) là lượng muối trong bể vào thời điểm t. Ta có y(0)=20 Tốc độ bổ sung muối vào: kg/l * 25l/phút=0,75 kg/phút Tốc độ muối ra: 25l/phút * y(t)/5000 kg/lít = y(t)/200 kg/phút Chênh lệch vào ra: 0,75 – y(t)/200 Đây cũng chính là tốc độ thay đổi của khối lượng muối y(t) Ta có: y’(t)=0,75-y(t)/200 Hay y’=0,75-0,005y 7 MÔ HÌNH TĂNG DÂN SỐ 1 Giả định: + Tốc
đang nạp các trang xem trước
