TAILIEUCHUNG - Báo cáo toán học: "An Asymptotic Expansion for the Number of Permutations with a Certain Number of Inversions"

Tuyển tập các báo cáo nghiên cứu khoa học trên tạp chí toán học quốc tế đề tài: An Asymptotic Expansion for the Number of Permutations with a Certain Number of Inversions. | An Asymptotic Expansion for the Number of Permutations with a Certain Number of Inversions Lane Clark Department of Mathematics Southern Illinois University Carbondale Carbondale IL 62901-4408 USA lclark@ Submitted December 17 1998 Accepted August 8 2000 Abstract Let b n k denote the number of permutations of 1 . . ng with precisely k inversions. We represent b n k as a real trigonometric integral and then use the method of Laplace to give a complete asymptotic expansion of the integral. Among the consequences we have a complete asymptotic expansion for b n k n for a range of k including the maximum of the b n k n . AMS Subject Classification 05A16 05A15 05A10 A permutation ơ ơ 1 . ơ nỴ of n 1 . ng has an inversion at i j where 1 i j n if and only if ơ i ơ j . Let b n k denote the number of permutations of n with precisely k inversions. Then b n k b n k for all integers k while b n k 0 if and only if 0 k n. Bender 2 p. 110 showed that the b n k are log concave in k. Hence the maximum B n of the b n k occurs at k _ 2j as well as r 2 2 for odd 2 . See 3 pps. 236-240 for further results. Random permutations show see 3 pps. 282-283 for example that the b n k satisfy a central limit theorem with ịin 2 2 and Ơ2 n n 1 2n 5 72 see 2 Theorem 1 . Bender 2 p. 109 remarks that the theorems of Section 4 do not apply to the b n k . He then shows 2 p. 110 that the b n k are log concave in k so that Lemma 2 applies. This will give a first term asymptotic formula for b n k n when k _pn xơnJ where x is a fixed real number. In this paper we represent b n k as a real trigonometric integral. We then use the method of Laplace to give a complete asymptotic expansion of this integral in terms of the Bernoulli numbers and Hermite polynomials. Hence we have the complete asymptotic 1 THE ELECTRONIC .JOURNAL OF COMBINATORICS 7 2000 R50 2 expansion b n k n 6 2 1 2n 3 2e x2 2 2m 2 1 X q 1 -2 q S2q n H2q 2 1 2x i ln2m2 1 n O I I nm 3 2 1 as n 1 when 2k n xn3 2 3 where x2 x2 n Inn and

• Báo cáo khoa học
• tài liệu báo cáo nghiên cứu khoa học
• cách trình bày báo cáo
• kiến thức toán học
• báo cáo toán học
• công trình toán học
• Nghiên cứu khoa học
• Phương pháp nghiên cứu khoa học
• Bài giảng Phương pháp nghiên cứu khoa học
• Báo cáo nghiên cứu khoa học
• Trình bày báo cáo nghiên cứu khoa học
• Văn phong sử dụng trong báo cáo khoa học
• Báo cáo khoa học công nghệ
• Đề tài nghiên cứu khoa học
• Nghiên cứu công nghệ làm phân vi sinh
• Báo cáo nghiên cứu phân vi sinh
• Báo cáo tình hình nghiên cứu khoa học
• Mẫu Báo cáo thực hiện nghiên cứu
• Trình bày Báo cáo thực hiện nghiên cứu
• Nội dung Báo cáo thực hiện nghiên cứu
• Hình thức Báo cáo thực hiện nghiên cứu
• Biên bản nghiên cứu khoa học
• Báo cáo khoa học và kỹ thuật
• Đề tài nghiên cứu khoa học y khoa
• Báo cáo nghiên cứu cấp nhà nước
• Nghiên cứu chất lượng chế phẩm thuốc
• Báo cáo nghiên cứu công nghệ sinh học
• Đề tài nghiên cứu thuốc sâu sinh học
• Báo cáo khoa học kỹ thuật
• Báo cáo quản lý chất thải sinh hoạt
• Báo cáo khoa học môi trường
• Nghiên cứu khoa học về môi trường
• Báo cáo nghiên cứu vệ sinh môi trường
• Nghiên cứu tình hình nhiễm độc Cadimi
• Báo cáo chế phẩm sinh học
• Báo cáo nghiên cứu ứng dụng sinh học
• Cách viết báo cáo khoa học
• Quy trình nghiên cứu khoa học
• Báo cáo kết quả nghiên cứu
• báo cáo khoa học
• tuyển tập báo cáo khoa học
• báo cáo ngành toán học
• báo cáo ngành vật lý
• báo cáo ngành chăn nuôi
• Nghiên cứu công nghệ phôi vô tính
• Báo cáo nghiên cứu nông nghiệp
• Báo cáo công nghệ xử lý chất thải
• Báo cáo nghiên cứu khoa học công nghệ
• Kết quả nghiên cứu lúa lai
• Cây lương thực
• Cây thực phẩm
• Một số nguyên tắc nghiên cứu khoa học
• Tiêu chuẩn báo cáo nghiên cứu khoa học
• Nguyên tắc báo cáo khoa học
• Báo cáo nghiên cứu công trình
• Nghiên cứu độ rỗng trong đá chứa dầu khí
• Nghiên cứu công nghệ UV–Fenton
• Nghiên cứu công nghệ xử lý nước thải
• Đề tài y tế đảm bảo an toàn người bệnh
• Báo cáo xây dựng hệ thống y tế
• Kỹ thuật viết báo cáo nghiên cứu
• Viết báo cáo nghiên cứu
• Báo cáo nghiên cứu
• khoa học
• Hình thức soạn thảo văn bản báo cáo
• Báo cáo nghiên cứu nước thải rượu
• Báo cáo công nghệ thiết bị UASB
• Đề tài công nghệ vi sinh
• luận văn mẫu
• người lính việt nam
• sau chiến tranh
• báo cáo ngành triết học
• báo cáo ngành lịch sử
• báo cáo ngành văn học