TAILIEUCHUNG - Đề thi Olympic sinh viên thế giới năm 2000

" Đề thi Olympic sinh viên thế giới năm 2000 " . Đây là một sân chơi lớn để sinh viên thế giới có dịp gặp gỡ, trao đổi, giao lưu và thể hiện khả năng học toán, làm toán của mình. Từ đó đến nay, các kỳ thi Olympic sinh viênthế giới đã liên tục được mở rộng quy mô rất lớn. Kỳ thi này là một sự kiện quan trọng đối với phong trào học toán của sinh viên thế giới trong trường đại. | Solutions for the first day problems at the IMC 2000 Problem 1. Is it true that if f 0 1 0 1 is a monotone increasing b monotone decreasing then there exists an x 2 0 1 for which f x x Solution. a Yes. Proof Let A x 2 0 1 f x xg. If f 0 0 we are done if not then A is non-empty 0 is in A bounded so it has supremum say a. Let b f a . I. case a b. Then using that f is monotone and a was the sup we get b f a f a b 2 a b 2 which contradicts a b. II. case a b. Then we get b f a f a b 2 a b 2 contradiction. Therefore we must have a b. b No. Let for example f x 1 x 2 if x 1 2 and f x 1 2 - x 2 if x 1 2 This is clearly a good counter-example. Problem 2. Let p x x5 x and q x x5 x2. Find all pairs w z of complex numbers with w z for which p w p z and q w q z . Short solution. Let P x y p y x4 x3 y x2 y2 xy3 y4 1 x - y and Q x y q x4 x3 y x2 y2 xy3 y4 x y. x - y We need those pairs w z which satisfy P w z Q w z 0. From P Q 0 we have w z 1. Let c wz. After a short calculation we obtain c2 3c 2 0 which has the solutions c 1 and c 2. From the system w z 1 wz c we obtain the following pairs 1 V3z 1 TV3A 1 P7z 1 TP7i ------- -------- and -------------- -------- . y 2 2 y y 2 2 y 1 Solutions for the second day problems at the IMC 2000 Problem 1. a Show that the unit square can be partitioned into n smaller squares if n is large enough. b Let d 2. Show that there is a constant N d such that whenever n N d a d-dimensional unit cube can be partitioned into n smaller cubes. Solution. We start with the following lemma If a and b be coprime positive integers then every sufficiently large positive integer m can be expressed in the form ax by with x y non-negative integers. Proof of the lemma. The numbers 0 a 2a . b 1 a give a complete residue system modulo b. Consequently for any m there exists a 0 x b 1 so that ax m mod b . If m b 1 a then y m ax b for which x by m is a non-negative integer too. Now observe that any dissection of a cube into n smaller cubes may be rehned to give a .

• Toán học
• Đề thi
• olympic sinh viêc quốc tế
• olympic sinh viên thế giớ
• bộ đề thi olympic
• luyện thi olympic quốc tế
• Đề thi THPT Quốc gia 2020
• Đề thi thử THPT Quốc gia
• Đề thi THPT Quốc gia
• Đề thi thử THPT Quốc gia môn Toán
• Đề thi thử THPT Quốc gia môn Văn
• Đề thi thử THPT Quốc gia môn Anh
• Đề thi thử THPT Quốc gia môn Hóa
• Đề thi thử THPT Quốc gia môn Lí
• Đề thi thử THPT Quốc gia môn Sử
• Đề thi thử THPT Quốc gia môn Địa
• Đề thi thử THPT Quốc gia môn GDCD
• Đề thi thử môn GDCD
• Đề thi THPT Quốc gia môn GDCD
• Ôn thi THPT Quốc gia
• Luyện thi THPT Quốc gia
• Ôn tập GDCD
• Ôn thi GDCD
• Bài tập GDCD
• Đề thi vào lớp 10
• Đề tuyển sinh vào lớp 10
• Đề thi vào lớp 10 năm 2020
• Đề thi vào lớp 10 môn Toán
• Đề thi vào lớp 10 môn Văn
• Đề thi vào lớp 10 môn Anh
• Đề thi vào lớp 10 môn Hóa
• Đề thi vào lớp 10 môn Lý
• Đề thi vào lớp 10 môn Sinh
• Đề thi vào lớp 10 môn Sử
• Đề thi vào lớp 10 môn Địa
• Đề tập huấn thi THPT Quốc gia năm 2020
• Đề tập huấn thi THPT Quốc gia môn Toán
• Đề thi thử môn Toán
• Đề thi THPT Quốc gia môn Toán
• Ôn tập Toán
• Ôn thi Toán
• Bài tập Toán
• ôn thi cao đẳng
• Đề thi thử đại học môn toán năm 2012
• đề thi toán đại học
• tài liệu luyện thi đại học
• bài tập trắc nghiệm
• cấu trúc đề thi đại học
• ngân hàng đề thi trắc nghiệm
• tài liệu ôn thi đại học
• bộ đề thi đại học
• đề thi thử đại học
• tuyển sinh đại học cao đẳng
• các đề thi đại học