TAILIEUCHUNG - Xây dựng toán tử biên miền cho một bài toán biên đối với phương trình dạng song điều hòa
Nội dung bài viết nêu lên việc áp dụng phương pháp toán tử biên hoặc toán tử biên - miền cho các bài toán đó. Các tính chất của toán tử cũng đưỡ xem xét, đánh giá thông qua đó có thể kết luận được sự hội tụ về nghiệm đúng bài toán gốc. | Tạp chí Khoa học & Công nghệ – Số 1(41)/Năm 2007 Xây dựng toán tử biên - miền cho một bài toán biên đối với ph−ơng trình dạng song điều hoà Lê Tùng Sơn (Trường ĐH S− phạm- ĐH Thái Nguyên) 1. Đặt vấn đề Một trong những ph−ơng pháp giải số mang tính hiệu quả cao đối với các bài toán biên của ph−ơng trình đạo hàm riêng cấp bốn là đ−a chúng về một d#y các bài toán cấp hai và sử dụng các kết quả đ# có. Để làm được việc này, gần đây, một số nhà nghiên cứu như Abramov, Ulijanova [1], [2,3,5], đ# áp dụng ph−ơng pháp toán tử biên hoặc toán tử biên – miền cho các bài toán đó. Các tính chất của toán tử cũng được xem xét, đánh giá, thông qua đó có thể kết luận được sự hội tụ của sơ đồ lặp của nghiệm xấp xỉ về nghiệm đúng của bài toán gốc. Tiếp tục hướng nghiên cứu trên, chúng tôi xét bài toán ∆2u + bu = f , x ∈ Ω, b > 0, (1) u Γ = g1 , (2) ∆u Γ = g 2 , (3) ∂u ∂γ (4) 1 2 = g3 , Γ trong đó Ω là một miền giới nội trong Rn, n≥2, Γ là biên đủ trơn của Ω, Γ= Γ1∪Γ2, γ là pháp tuyến ngoài của Γ, ∆ là toán tử Laplace. Trước hết, chúng tôi đ−a bài toán (1) – (4) về một ph−ơng trình toán tử, trên cơ sở đó, xây dựng một sơ đồ lặp cho bài toán gốc. 2. Đ−a bài toán(1)-(4) về ph−ơng trình toán tử biên- miền Nếu đặt: ∆u = v , ϕ = −bu , (5) (6) ∆u Γ = v 0 , và ký hiệu: 1 (7) thì bài toán (1)-(4) được đ−a về các bài toán: ∆v = f + ϕ , x∈Ω , v Γ = v0 , v Γ = g 2 1 2 ∆u = v , u Γ = g1 , 1 (8) và (9) ∂u ∂γ = g3 . Γ2 ở đây: v, v0, ϕ là ch−a biết. Nếu tìm được v0, ϕ , thì từ (8) ta tìm được v, tiếp tục giải (9), ta tìm được nghiệm u của bài toán (1)- (4). 13 Tạp chí Khoa học & Công nghệ – Số 1(41)/Năm 2007 Để tìm v0, ϕ , ta xây dựng toán tử B được xác định như sau: B :ω → Bω b∂u Bω = ∂γ Γ , 1 ϕ + bu v ω = 0 , ϕ (10) trong đó u là nghiệm của các bài toán: ∆v = ϕ , x ∈Ω, v Γ = v0 , vΓ =0 1 2 (11) và: ∆u = v , u Γ =0, 1 (12) ∂u ∂γ = 0. Γ2 Nếu đặt u = u1+u2, v = v1+v2 thì ta đ−a được (8), (9) tới d#y các bài toán .
đang nạp các trang xem trước
