Đang chuẩn bị nút TẢI XUỐNG, xin hãy chờ
Tải xuống
Tham khảo tài liệu 'tài liệu chuyên toán - bất đẳng thức hiện đại - phần 10', tài liệu phổ thông, ôn thi đh-cđ phục vụ nhu cầu học tập, nghiên cứu và làm việc hiệu quả | 263 Mặt khác s a2 bc b2 ca 1 y a2 c2 b2 c2 _ Do đó X cyc a2 bc b2 ca a2 c2 b2 c2 a2 bc b2 c2 V b2 ca c2 a2 a2 bc b2 ca 2 y a2 c2 b2 c2 - Ta còn phải chứng minh Ea2 bc 3 cyc a2 cyc Ẽ b cyc Ẹ cyc a2 bc b2 c2 5 2 ĩc 2 P ab cyc Nếu 52 a2 2 Ỉ2 ab bất đẳng thức là hiển nhiên vì cyc cyc E cyc a2 bc b2 c2 a2 c2 b2 c2 ab 5 a b ab 5 b2 c2 a2 c2 a2 b2 2 b a a2 b2 2 2a2 ab 2b2 a b 2 2ab a2 b2 Nếu P a2 2 P ab thì ta có a pb pẽ b 3c và do 2 p 3 nên ta chỉ cần chứng minh được E cyc a2 bc b2 c2 3 a2 - 6 E ab cyc cyc ab cyc 5 2 5 2 264 CHƯƠNG 2. SÁNG TẠO BẤT đẳng thức Ta có E cyc a2 bc b2 c2 a2 c2 b2 c2 _ b2 c2 a2 c2 ab 5 a2 b2 _ 2 a2 b2 2 a b 2 a2 c2 b2 c2 _ 2 a2 b2 a b 2 a b 2 1 a2 c2 b2 c2 2 a2 b2 3 a b 2 a b 2 4 a2 c2 b2 c2 và _ _ P 2 2 P ab cyc a b 2 c c 2a 2b a b 2 2ac põ - põ cyc cyc Nên ta chỉ cần chứng minh được a b 2 a b 2 a b 2 2ac 4 a2 c2 b2 c2 - 0 cyc a - b 2 a b 2 1 4 a2 c2 b2 c2 ab bc ca 2ac 7 1. _ _ ab bc ca 5 2 Nếu a b 5c ta sẽ chứng minh a b 2 4 a2 c2 b2 c2 1 ab bc ca f c a b 2 ab bc ca 4 a2 c2 b2 c2 0 Bất đẳng thức này đúng vì f c là hàm lõm trên 0 a và f 0 ab a - b 2 0 a b f 5 vEa - b 21a3 1112a2b - 362ab2 229b3 0 625 Nếu a b 5c thì 2ac - a a 5 2 b 5 a - b 2 Suy ra ta chỉ cần chứng minh a b 2 3 4 a2 c2 b2 c2 5 ab bc ca _ 265 g c 5 a b 2 ab bc ca 12 a2 c2 b2 c2 0 Bất đẳng thức vì g c là hàm lõm trên 0 2ị và g 0 ab 5a2 - 2ab 5b2 0 g b I Ả 5a4 313a3b - 150a2b2 133ab3 - 85b4 0. 3 J 27v Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a b c 0 hoặc các hoán vị tương ứng. Bài toán 2.56 Cho các số không âm a b c không có 2 số nào đồng thời bằng 0. Chứng minh rằng a b c 18 b3 c3 c3 a3 a3 b3 _ 5 a2 b2 c2 ab bc ca Michael Rozenberg Lời GIẢI. Bất đẳng thức tương đương vói 18 a Ea a b c cyc _ b3 c3 5 P a2 - P ab cyc _ _ cyc cyc Ẹ cyc a2 b3 c3 E cyc a b2 bc c2 18 a cyc 5 P a2 - P ab cyc cyc Sử dụng bất đẳng thức Cauchy Schwarz ta có E cyc a2 b3 c3 2 P a2 cyc a2b2 a - abc ab cyc cyc cyc a2 b3 c3 cyc và a b2 bc c2 2 P a cyc P a b2 - bc c2 cyc 52 a 52 ab 6abc cyc cyc E .
