Đang chuẩn bị nút TẢI XUỐNG, xin hãy chờ
Tải xuống
Bất đẳng thức thuần nhất P2 Tài liệu mang tính chất tham khảo, giúp ích cho các bạn tự học, ôn thi, với phương pháp giải hay, thú vị, rèn luyện kỹ năng giải đề, nâng cao vốn kiến thức cho các bạn trong các kỳ thi sắp tới. Tác giả hy vọng tài liệu này sẽ giúp ích cho các bạn. | 4.6. Định lý Rolle và ứng dụng 149 trong đó a b c d 0 và a2 b2 c2 d2 4. Điều kiện giả thiết có thể viết lại dưói dạng p2 3t2 9. Chú ý rằng a3 b3 c3 d3 a3 b3 c3 d3 3 abc bcd cda dab 3 a b c d ab bc cd da ac bd . Do đó ta có thể viết a3 b3 c3 d3 287 p3 I pt2 12r. Bất đẳng thức cần chứng minh được viết dưói dạng 4-21 136p 27p3 1 pt2 12r 4 p M . o o o Ị Sử dụng giả thiết p2 3t2 9 ta đồng bậc hoá bất đẳng thức 4.21 về dạng 6p3 10pt2 I1r 3 p2 t2 ỵỊp2 3t2. Đây là bất đẳng thức đồng bậc ta có thể giả sử p 1. Vì 10pt2 0 nên bây giờ ta chỉ cần chứng minh 2 27r 1 t2 V 1 3t2. Sử dụng bổ đề 4.35 ta có 1- t 2 1 2t r . 27 ra rằng 2 1 t 2 1 2t 1 t2 ự 1 3t2. Bất đẳng thức này tương đương vói 1 3t2 2t3 1 t2 V1 3t2. Bình phương hai vế cho ta Ơ2 3 2 22 22 42 3t 2t 1 t 1 3t t t 1 ot 1 t 4 u. Bất đẳng thức này đúng. Đẳng thức xảy ra khi t 0 tức là a b c d 2. Phép chứng minh hoàn tất. 4.7. Chọn biến số nhỏ nhất biến số lớn nhất 150 4.7 Chọn biến số nhỏ nhất biến số lớn nhất Dựa trên tính đồng bậc tính bình đẳng giữa các biến số ta sẽ sắp thứ tự và chọn phần tử lớn nhất hoặc nhỏ nhất từ đó giảm dần biến số. Với cách này ta thậm chí không cần sử dụng đến định lý Rolle và giải quyết được một lớp các bất đẳng thức bốn biến số. Bài toán 4.47. Chứng minh rằng với a b c d 0 thì 3 a4 b4 c4 d4 4abcd a b c d a3 b3 c3 d3 . Chứng minh. Nếu một trong bốn số a b c d bằng 0 thì bất đẳng thức cần chứng minh hiển nhiên đúng. Xét trường hợp a b c d 0 vì tính đồng bậc nên ta có thể chọn 4.22 d min a b c d 1. Khi đó bất đẳng thức cần chứng minh trở thành 4.23 3 a4 b4 c4 1 4abc a b c 1 a3 b3 c3 1 . Đặt p a b c q ab bc ca r abc vì 4.22 nên p 3. Biểu diễn theo p q r chú ý rằng a4 b4 c4 p2 - 2q 2 - 2 q2 - 2pr a3 b3 c3 p p2 - 3q 3r bất đẳng thức 4.23 có thể viết dưới dạng 4.24 2p4 - p3 - p - 2 - 9p2q 3pq 6q2 9pr r 0. Theo bổ đề 4.35 ta có r 27 p3 - 3pt2 - 2t3 . Ta cần chứng minh 2m4 2 -2 p2- í2 V p2- t2 2 p - p - p 2 - 9 p 1 3 1 3 p 1 3 1 2_ t2 2 1 6 p 9 p p3 - 3pt2 - 2t3 27 p3 - 3pt2 - 2t3 0. Bất đẳng thức này
