Đang chuẩn bị nút TẢI XUỐNG, xin hãy chờ
Tải xuống
Ánh xạ tuyến tính liên tục- ôn thi cao học là tài liệu mang tính chất tham khảo, giúp ích trong việc tự học, ôn thi, tạo tâm thế vững vàng, có thể tự đánh giá và nâng cao vốn kiến thức, giúp trong các kỳ thi sắp tới. Tác giả hy vọng tài liệu này sẽ giúp ích cho các bạn. | GIẢI TÍCH CƠ SỞ Chuyên ngành Giải Tích PPDH Toán Phần 2. Không gian định chuẩn Ánh xạ tuyến tính liên tục 2. Ánh Xạ Tuyến Tính Liên Tục Phiên bản đã chỉnh sửa PGS TS Nguyễn Bích Huy Ngày 1 tháng 3 năm 2006 PHẦN LÝ THUYẾT 1. Sự liên tục của của ánh xạ tuyến tính Anh xạ tuyến tính liên tục giữa các không gian định chuẩn có tất cả các tính chất của một ánh xạ liên tục giữa các không gian metric. Ngoài ra nó còn có các tính chất đặc biệt nêu trong định lý sau Định lý 1 Giả sử X Y là các không gian định chuẩn trên cùng một trường số và A X - Y là một ánh xạ tuyến tính. Các mệnh đề sau là tương đương a A liên tục tại một điểm nào đó của X. b A liên tục trên X. c Tồn tại số M 0 sao cho A x y M x x Vx G X 2. Chuẩn của ánh xạ tuyến tính liên tục. Không gian L X Y a Nếu A X I . x - Y . Y là ánh xạ tuyến tính liên tục thì ta định nghĩa chuẩn của A bởi A sup X x x x 0 Từ định nghĩa này ta dễ thấy các tính chất sau i. A sup A x y sup A x y IPIIx 1 llxllx l 1 ii. Nếu A tuyến tính liên tục thì A x Y A . x x Vx G X iii. Nếu A tuyến tính và tồn tại số dương M sao cho A x Y M. x x Vx G X thì A liên tục và A M b Ta ký hiệu L X Y là tập tất cả các ánh xạ tuyến tính liên tục từ X vào Y. L X Y trở thành không gian định chuẩn nếu ta định nghĩa chuẩn của mỗi A G L X Y như trên và các phép toán như sau A B x A x B x AA x AA x x G X Định lý 2 Nếu Y là không gian Banach thì L X Y là không gian Banach. 3. Phiếm hàm tuyến tính liên tục Một ánh xạ tuyến tính từ không gian định chuẩn X vào trường số K cũng còn gọi là một phiếm hàm tuyến tính. Định lý 3 Cho f X . K là phiếm hàm tuyến tính. Các mệnh đề sau là tương đương a f liên tục tại một điểm nào đó của X. b f liên tục trên X. c 3M 0 f x M. x Vx G X d Kerf x G X f x 0 là không gian con đóng. Không gian L X K tất cả các phiếm hàm tuyến tính liên tục trên X thường ký hiệu là X và gọi là không gian liên hợp của X. Từ định lý 2 ta có X là không gian Banach với chuẩn II ru - cim f x f sUp x xH PHẦN BÀI TẬP Bài 1 Cho các không gian định chuẩn X . X
