Đang chuẩn bị nút TẢI XUỐNG, xin hãy chờ
Tải xuống
Bài giảng Chương 3: Tích phân hàm phức sẽ giới thiệu tới các bạn một số bài học cơ bản về tích phân đường của hàm biến phức; định lí cauchy cho miền đơn liên; định lý cauchy cho miền đa liên; tích phân bất định;. | CHƯƠNG 3 TÍCH PHÂN HÀM PHỨC 1. TÍCH PHÂN ĐƯỜNG CỦA HÀM BIẾN PHỨC 1. Định nghĩa Cho đường cong c định hướng trơn từng khúc và trên c cho một hàm phức f z . Tích phân của f z dọc theo c được định nghĩa và kí hiệu là 1jm f tk zk zk i íf z dz 1 n k i C Trong đó a z0 zi . Zn b là những điểm kế tiếp nhau trên C a và b là hai mút tk là một điểm tuỳ ý của c nằm trên cung zk Zk-1 . Giới hạn 1 thực hiện sao cho max lk 0 với lk là độ dài cung zk zk.i . 2. Cách tính Đặt f z u x y jv x y zk xk jyk Axk xk - xk.i Ayk yk - yk-i tk ơ.k j Pkị u ak pk uk v ak pk vk tacó ẳf tk zk-zk_x ẳ ukAxk -vkAyk jẳ ukAxk vkAyk 2 k l k l k l Nếu đường cong c trơn từng khúc và f z liên tục từng khúc giới nội thì khi n oo vế phải của 2 tiến tới các tích phân đường của hàm biến thực. Do đó tồn tại J f z J udx - vdy jj udy vdx 3 c c C Nếu đường cong L có phương trình tham số là X x t y y t và a t p thì ta có thể viết dưới dạng hàm biến thực z x t jy t z t a t p với z a a z b p. Khi đó ta có công thức tiện dụng 0 J f z dz - j f z t .z t dt 4 c a Ví dụ 1 Tính I J Rezdz L là đoạn thẳng nối 2 điểm 0 và 1 j theo chiều từ 0 đến Điểm o ứng với t 0 và điểm B ứng với t 1. Theo 4 51 1 1 1 1 . i I J Re l j t.z t dt J 1 j tdt 1 j J tdt 0 0 0 2 r dz Ví dụ 2 Tính I - i L là nửa cung tròn nằm trong nửa mặt phẳng trên nối điểm -a L z và a chiều lấy tích phân từ -a đến a. Phương trình tham số của đường cong L là X - acos t y - asin t Vậy z t a cost jsint ae 1 z t jae 1. Điểm -a ứng với t 7Ĩ điểm a ứng với t 0. Theo 4 Ví dụ 3 Tính I J 1 j - 2z dz c là cung parabol y X2 nối gốc o và điểm B có C toạ độ 1 1 . Hàm f z 1 j - 2z 1 j - 2 x - jy . Tách phần thực và phần ảo ta có u x y l -2x v x y 1 2y. Dùng 3 ta có I J 1 - 2x dx - 1 2y dy jj 1 2y dx 1 - 2x dy c C Chuyển mỗi tích phân đường loại 2 thành tích phân xác định ta có J 1 - 2x dx - 1 2y dy - J 1 - 2x dx - 1 2x2 2xdx J -4x3 - 4x l dx - 2 co 0 1 1 4 J 1 2y dx 1 - 2x dy J 1 2x2 dx 1 - 2x 2xdx j -2x2 2x l dx co 0 3 Thay vào trên ta có I -2 4r 3 Ví dụ 4 Tính I J z2dz AB là
