Đang chuẩn bị nút TẢI XUỐNG, xin hãy chờ
Tải xuống
Đề thi Olympic Toán sinh viên năm 2014 môn Đại số giúp các bạn học sinh giỏi có thêm những cơ hội để đánh giá kiếm thức của mình về: Số thực, đạo hàm của đa thức, Vecto. và thêm tự tin để bước vào kì thi Olympic sắp tới được tốt hơn. | HỘI TOÁN HỌC VIỆT NAM đỀ thi OLYMPIC TOÁN SINH VIÊN NĂM 2014 Môn thi Đại số Thời gian làm bài 180 phút Bài 1. a Chứng minh rằng det ai ai ai 1 a 2 a2 a2 1 a3 3 3 1 a4 a4 a4 1 ai ai - 1 ai - 2 a2 a2 _ 1 a2 _ 2 a3 a3 1 a3 2 a4 a4 1 a4 2 y n aj -ai i i j 4 1 1 b Giả thiết ai a2 a3 a4 là các số nguyên chứng minh aj ai chia hết cho 12. Bài 2. Cho các số thực phân biệt ai a2 a3. Chứng minh rằng vói mọi bộ số thực bi b2 b3 tồn tại duy nhất một đa thức P x bậc không quá 5 thỏa mãn P ai P0 ai bi i 1 2 3 ở đây P0 ký hiệu đạo hàm của đa thức P. Bài 3. a Ký hiệu V4 là không gian vec tơ các đa thức vói hệ số thực vói bậc không quá 4. Định X f i nghĩa ánh xạ e V4 V4 như sau vói mỗi đa thức f 2 V4 e f trong đó f i ký J á í i 0 hiệu đạo hàm bậc i của f f 0 f . Chứng minh rằng e là một ánh xạ tuyến tính khả nghịch từ V4 vào chính nó. b Ký hiệu V là không gian vec tơ các đa thức vói hệ số thực. Vói mỗi đa thức f đặt e f 1 f i y -. Chứng minh rằng e là một ánh xạ tuyến tính khả nghịch từ không gian V vào chính nó. . A Ấ. c Em B X Bài 4. a Cho ma trận khối X được tạo thành từ các ma trận đơn vị Em En cấp C En m n tương ứng và các ma trận B C vói kích thưóc m X n và n X m tương ứng. Chứng minh rằng det X det En - CB det Em - BC . b Tổng quát cho ma trận khối X trong đó A D là các ma trận vuông A khả CD nghịch chứng minh rằng det X det A det D CA iB . Thí sinh chọn một trong hai câu của bài sau Bài 5. a Cho P là một đa thức bậc n vói hệ số hữu tỷ. Giả sử số thực a là một nghiệm của P vói bội n 2. Chứng minh rằng a là một số hữu tỷ. b Trên hình vuông ABCD ta định nghĩa đường đi giữa hai đỉnh X Y không nhất thiết phân biệt là một dãy các đỉnh kề nhau XXiX2 . Xn_i Y như vậy X0 X Xi . Xn_i Xn Y là các đỉnh của hình vuông và XiXi i là cạnh của hình vuông số n được gọi là độ dài của đường đi. Vói mỗi số tự nhiên n gọi xn yn zn tương ứng là số các đường đi độ dài n giữa một đ ỉnh và chính nó một đ ỉnh và một đ ỉnh cố định kề nó một đ ỉnh và đ ỉnh đối diện đ ỉnh đối xứng qua tâm . Ví dụ x0 1 y0
