Đang chuẩn bị nút TẢI XUỐNG, xin hãy chờ
Tải xuống
Tham khảo tài liệu 'giáo trình toán chuyên ngành điện_chương 3', kỹ thuật - công nghệ, điện - điện tử phục vụ nhu cầu học tập, nghiên cứu và làm việc hiệu quả | CHƯƠNG 3 TÍCH PHÂN HÀM PHỨC 1. TÍCH PHÂN ĐƯỜNG CỦA HÀM BIẾN PHỨC 1. Định nghĩa Cho đường cong C định hướng trơn từng khúc và trên C cho một hàm phức f z . Tích phân của f z dọc theo C được định nghĩa và kí hiệu là n Jim 5 f tk zk - zk-1 Jf z dz 1 n TO k 1 C Trong đó a zo z1 . zn b là những điểm kế tiếp nhau trên C a và b là hai mút tk là một điểm tuỳ ý của C nằm trên cung zk zk-1 . Giới hạn 1 thực hiện sao cho max lk 0 với lk là độ dài cung zk zk-1 . 2. Cách tính Đặt f z u x y jv x y zk xk jyk Axk Xk - Xk-1 Ayk yk - yk-1 tk ak jPk u ơk pk uk v ơk pk vk ta có Ẻf tk zk- zk-1 ẳ uk Axk- vk Ay jẳ uk Axk vk Ay 2 k 1 k 1 k 1 Nếu đường cong C trơn từng khúc và f z liên tục từng khúc giới nội thì khi n OT vế phải của 2 tiến tới các tích phân đường của hàm biến thực. Do đó tồn tại J f z J udx - vdy j J udy vdx 3 Nếu đường cong L có phương trình tham số là x x t y y t và a t p thì ta có thể viết dưới dạng hàm biến thực z x t jy t z t a t p với z a a z b p. Khi đó ta có công thức tiện dụng p J f z dz J f z t .z t dt 4 C a Ví dụ 1 Tính I jRezdz L là đoạn thẳng nối 2 điểm 0 và 1 j theo chiều từ 0 đến 51 Điểm O ứng với t 0 và điểm B ứng với t 1. Theo 4 I J Re 1 j t.z t dt J 1 j tdt 1 j J tdt i ỉ-0 0 0 2 dz Ví dụ 2 Tính I i L là nửa cung tròn nằm trong nửa mặt phẳng trên nối điểm -a L z và a chiều lấy tích phân từ -a đến a. Phương trình tham số của đường cong L là x acost y asin t Vậy z t a cost jsint aejt z t jaejt. Điểm -a ứng với t n điểm a ứng với t 0. Theo 4 I J T ỉ L z n jaejtdt aejt 0 jJ dt -jn n Ví dụ 3 Tính I J 1 j - 2z dz C là cung parabol y x2 nối gốc O và điểm B có toạ độ 1 1 . Hàm f z 1 j - 2z 1 j - 2 x - jy . Tách phần thực và phần ảo ta có u x y 1-2x v x y 1 2y. Dùng 3 ta có I J 1 - 2x dx - 1 2y dy jJ 1 2y dx 1 - 2x dy Chuyển mỗi tích phân đường loại 2 thành tích phân xác định ta có J 1 - 2x dx - 1 2y dy J 1 - 2x dx - 1 2x2 2xdx J -4x3 - 4x 1 dx - 2 C 0 0 J 1 2y dx 1 - 2x dy J 1 2x2 dx 1 - 2x 2xdx J -2x2 2x 1 dx - C 0 0 3 Thay vào trên ta có I -2 4j 3 Ví dụ 4 Tính I
