Đang chuẩn bị nút TẢI XUỐNG, xin hãy chờ
Tải xuống
Bài viết thiệu một số dạng bất đẳng thức tích phân đã xuất hiện trong các kì thi Olympic Toán. Bên cạnh đó giới thiệu với độc giả các cách phân tích và giải các bài toán có liên quan đến bất đẳng thức tích phân. | TẠP CHÍ KHOA HỌC SỐ 18 2018 1 BẤT ĐẲNG THỨC TÍCH PHÂN TRONG CÁC KỲ THI OLYMPIC TOÁN SINH VIÊN Đào Thị Kim Chi Trường Đại học Phú Yên Tóm tắt Trong bài báo này chúng tôi giới thiệu một số dạng bất đẳng thức tích phân đã xuất hiện trong các kì thi Olympic Toán. Bên cạnh đó giới thiệu với độc giả các cách phân tích và giải các bài toán có liên quan đến bất đẳng thức tích phân. Từ khóa Bất đẳng thức tích phân Oympic Toán Abstract Integral inequality in the Mathematical Olympiads The aim of this paper is to introduce some forms of integral inequalities that have emerged during the Mathematical Olympiads. In addition the researcher would also like to propose some methods of analyzing and solving the math problems regarding integral inequalities. Key words inequality integral Mathematical Olympiad 1. Giới thiệu. Tuy không xuất hiện thường xuyên trong các kỳ thi Olympic Toán nhưng bất đẳng thức tích phân luôn là một trong những bài toán xuất hiện nhiều cách giải thông minh. Không có cách giải chung cho dạng toán này và mỗi bài có một cách giải đặc trưng riêng đòi hỏi những kỹ thuật khéo léo của người giải. Một số bài toán trong đề thi sẽ cho các bạn thấy điều này. Bài 1. Olympic SV 1998 Cho và . Chứng minh rằng Lời giải. Đặt Khi đó Mặt khác . Áp dụng bất đẳng thức Cauchy Schwarz Khi đó ta có Email kimchi.matdoi@gmail.com 2 TRƯỜNG ĐẠI HỌC PHÚ YÊN Đối với bài toán trên người giải không chỉ tìm ra sự kết hợp khéo léo các điều kiện của đạo hàm và tích phân mà còn sử dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz quen thuộc. Bài 2. Olympic 2009 Cho hàm số có đạo hàm cấp hai liên tục và trên . Chứng minh rằng . Lời giải. Ta sử dụng tích phân từng phần với Đặt thì và chọn . Ta có Tiếp tục áp dụng tích phân từng phần với ta được Do đó Với tích phân ta đặt thì và chọn ta được Tiếp tục áp dụng tích phân từng phần với ta được Do đó Bất đẳng thức cần chứng minh là TẠP CHÍ KHOA HỌC SỐ 18 2018 3 hay Tuy nhiên dễ thấy vì bất đẳng thức này tương đương với đúng theo bất đẳng thức Cauchy. Cách dùng .
