Đang chuẩn bị nút TẢI XUỐNG, xin hãy chờ
Tải xuống
Tiếp nối phần 1, tiếp phần 2 cuốn sách sau đây. Trong mỗi chương có trình bày phần tóm tắt lý thuyết, các ví dụ, các bài tập tự giải và cuối mỗi chương có phần hướng dẫn hoặc đáp số. Các bài tập được chọn từ dễ đến khó, có những bài tập mang tính lý thuyết và có những bài tập rèn luyện kỹ năng nhằm giúp sinh viên hiểu sâu thêm môn học. | c- BÀI TẬP 1. KHÔNG GIAN VÉC Tơ VÀ ÁNH XẠ TUYÊN TÍNH 2.1. Cho ma trận X e Mat n. m. R aij là cột thứ j của ma trận X j 1 2. m . B B2 . B là các cột của ma trận X. x . Chứng minh rằng các không gian con của Rn sinh hởi Aj. Am và sinh bởi B . Bn trùng nhau từ đó suy ra rangX rang X. X1 . 2.2. Chứng minh ràng mỗi ma trận hạng 1 đểu viết dược dưới dạng tổng của r ma trận hạng một. 2.3. Cho E và F là hai K - không gian véc tơ và u e HomK E F . Các véc tơ X .xr thuộc Keru V . yR là những véc tơ bất kỳ thuộc E. Chứng minh rằng hai trong ba khang định sau kéo theo khang định thứ ba. 1 xlt . xr là cơ sỏ của Keru. 2 u Yi .u ys là cơ sở của Imu. 3 X . X y- .yj là cơ sỏ của E. Từ đó suy ra nếu E hữu hạn chiểu thì dimE dim Keru dim Imu . 96 2.4. a Giả sử E và F là hai không gian véc tơ hữu hạn chiều trên trường K dimE dimF n. u e HomK E F . Chứng minh rằng u đơn cấu khi và chỉ khi u toàn cẩu. b Nêu ví dụ chứng tỏ rằng nếu E và F có số chiểu vô hạn mệnh đề trên không đúng nũa. 2.5. Cho ơ là một phép thế bậc n và u e End Cn xác định bởi u Zj . Zjj Za 1 Zơ 2 Zơ n . a Hãy tìm ma trận A của u trong cơ sỏ tự nhiên eb . của cn. b Tìm tất cả các ma trận B Mat n C giao hoán được vối A. 2.6. Xét không gian véc tơ E hữu hạn chiều trên trường K. a Giả sử ej . en là một cơ sở của E . ctn là những vô hướng đôi một khác nhau u End E xác định bởi u ei i 1 . n . Chứng minh rằng nếu V e End E và u.v V. lĩ thì tồn tại những vô hưởng sao cho v ej PjBj. b Chứng minh rằng nếu tự đồng cấu tuyến tính u giao hoán vổi mọi tự đồng cấu tuyến tính của E thì tồn tại VÔ hướng 1 Ễ K đê u x 2.X vối mọi X e E. .2.7. Cho A aij e Mat n K det A 0 V là một không gịẾLQ véc tơ trên trưòng K và Uj e End V j - 1 . n. Chứng minh n rằng nếu các tự đồng cấu tuyến tính V Xaijuj 2 . n j i giao hoán với nhau thì các Uj cũng giao hoán vối nhau. 97 2.8. Giả sử A e Mat n R detA 0 và trong mỗi dòng củ A có đúng một sô khác không bằng 1. Chứng minh rằng a Af A 1 b Có số tự nhiên m để Ara A1. 2.9. Cho V ỉà không gian VCC tơ trên .
