TAILIEUCHUNG - Bài giảng Phương trình vi phân và lí thuyết chuỗi: Bài 9 - PGS. TS. Nguyễn Xuân Thảo

Bài 9 tiếp tục trang bị cho người học những kiến thức về phương trình vi phân cấp hai. Trong bài này các bán sẽ tìm hiểu những nội dung sau đây: Phương trình vi phân tuyến tính cấp hai, phương trình vi phân tuyến tính thuần nhất, phương pháp biến thiên hằng số Lagrange. Mời các bạn tham khảo. | PGS. TS. Nguyễn Xuân Thảo thaonx-fami@ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN VÀ LÍ THUYẾT CHUỖI BÀI 9 3. Phương trình vi phân cấp hai TT Đặt vấn đề. Mô hình toán học của hệ cơ học và mạch điện dẫn đến phương trình vi phân cấp hai mdx cdx kx 0 LI RI -11 E t dt2 dt C k là hệ số co dãn của lò xo c là hệ số giảm xóc m là khối lượng vật thể 3. Phương trình vi phân tuyến tính cấp hai a Định nghĩa. y p x y q x y f x 1 b Phương trình vi phân tuyến tính thuần nhất y p x y q x y 0 2 Định lí 1. yi y2 là các nghiệm của 2 ciyi c2y2 cũng là nghiệm của 2 V ci c2 e M Định nghĩa. Các hàm yi x y2 x là độc lập tuyến tính trên a b y2 x hằng yi x số trên a b . Trong trường hợp ngược lại ta nói các hàm này phụ thuộc tuyến tính. Ví dụ 1. a ex e2x b x2 2x 1 x 1 c tan x 2 tan x Định nghĩa. Cho các hàm yi x y2 x khi đó định thức Wronsky của các hàm này là W yi y2 yi yi y2 y2 Định lí 2. Các hàm yi y2 phụ thuộc tuyến tính trên a b W yi y2 0 trên đoạn đó Chú ý. Nếu W yi y2 0 tại x0 nào đó thuộc a b độc lập tuyến tính Định lí 3. Cho yi y2 là các nghiệm của 2 W yi y2 0 tại x0 e a b các hàm p x q x liên tục trên a b W yi y2 0 V x G a b Định lí 4. Các nghiệm yi y2 của 2 độc lập tuyến tính trên a b W yi y2 0 V x e a b Định lí 5. Cho yi y2 là các nghiệm độc lập tuyến tính nghiệm tổng quát của 2 là y Ciyi C2y2 Ví dụ 2. y y 0 Định lí 6. Biết nghiệm riêng yi 0 của 2 tìm được nghiệm riêng y2 của 2 độc lập tuyến tính với yi và có dạng y2 x yi x u x Hệ quả. Với giả thiết của định lí 6 nghiệm y2 tìm được theo công thức sau y2 yi í-4 edpx dxdx Liouville . Jy2 thaonx-fami @ PGS. TS. Nguyễn Xuân Thảo Ví dụ 3. a y - 0 Dễ thấy y1 1 là nghiệm y2 J e í -1 dxdx ex y C1 C2ex b x2y - xy - y 0 1Z _ v 1Z _ f 1 -í1 dx 1 1 y1 x là nghiệm y2 x e x dx x dx x2 x3 -2x y C1x x c 2x 1 y 4xy - 4y 0 y C1x C2e 2x d xy - 2x 1 y x 1 y 0 y C1ex C2x2ex e y - 2 1 tan2 x y 0 y C1 tan x C2 1 xtan x c Phương trình vi phân tuyến tính không thuần nhất y p x y q x y f x 1 Định lí 1. Nghiệm tổng quát của 1 có dạng y y Y ở đó y

TỪ KHÓA LIÊN QUAN
TAILIEUCHUNG - Chia sẻ tài liệu không giới hạn
Địa chỉ : 444 Hoang Hoa Tham, Hanoi, Viet Nam
Website : tailieuchung.com
Email : tailieuchung20@gmail.com
Tailieuchung.com là thư viện tài liệu trực tuyến, nơi chia sẽ trao đổi hàng triệu tài liệu như luận văn đồ án, sách, giáo trình, đề thi.
Chúng tôi không chịu trách nhiệm liên quan đến các vấn đề bản quyền nội dung tài liệu được thành viên tự nguyện đăng tải lên, nếu phát hiện thấy tài liệu xấu hoặc tài liệu có bản quyền xin hãy email cho chúng tôi.
Đã phát hiện trình chặn quảng cáo AdBlock
Trang web này phụ thuộc vào doanh thu từ số lần hiển thị quảng cáo để tồn tại. Vui lòng tắt trình chặn quảng cáo của bạn hoặc tạm dừng tính năng chặn quảng cáo cho trang web này.