Đang chuẩn bị nút TẢI XUỐNG, xin hãy chờ
Tải xuống
Tham khảo tài liệu 'giáo trình hướng dẫn phân tích các ứng dụng của hình học phẳng trong dạng đa phân giác p10', khoa học tự nhiên, toán học phục vụ nhu cầu học tập, nghiên cứu và làm việc hiệu quả | B Chương 3. Tích Phân Phức Hê quả 2 Cho đường cong r đơn kín trơn từng khúc định hướng dương và hàm f liên tục trên D r giải tích trong Dr. V a e Dr f- dz 2nif a 3.4.4 r z - a Chứng minh Suy ra từ công thức 3.4.3 Ví dụ Tính tích phân I f r dz z2 -1 hướng dương z 3. Theo công thức 3.3.4 1 1 I f -z-1 dz í -z 1 dz I1 I2 z 1 1Z 1 z-1 1Z - 1 với r là đường tròn định Hàm f z 1 thoả mãn công thức 3.4.4 trong đường tròn z 1 1 suy ra z -1 11 2nif -1 -ni Hàm g z 1 thoả mãn z 1 12 2nig 1 ni Vậy I -ni ni 0 công thức 3.4.4 trong đường tròn z - 1 1 suy ra Đ5. Tích phân Cauchy Cho đường cong định hướng r đơn trơn từng khúc và hàm f liên tục trên r. Tích phân F z í f Z dZ với z e D V - r 3.5.1 2ni r z - z gọi là tích phân Cauchy dọc theo đường cong r. Đinh lý Hàm F z là giải tích và có đạo hàm mọi cấp trên miền D. Khi đó ta có V n z e z X D F n z - í f Z dZ 3.5.2 2ni r Z- Chứng minh Do hàm f liên tục trên r và z Ể r nên hàm F xác định đơn trị trên miền D. Với mọi a e D tuỳ ý F z - F a 1 r f Z dZ 1 J f Z dZ z - a 2ni J Z - a Z - z z 2ni J Z - a 2 Suy ra hàm F có đạo hàm cấp một trong miền D tính theo công thức 3.5.2 và do đó giải tích trong miền D. Giả sử hàm F có đạo hàm đêh cấp n - 1 trong miền D Với mọi a e D tuỳ ý n 1 Vít- a k Z- z n-1-k F n-1 z - F n-1 a n -1 r f Z á dZ z- a 2ni J Z- a n Z- z n é L f ZLdZ 2ni r Z- a n 1 Suy ra hàm F có đạo hàm cấp n trong miền D tính theo công thức 3.5.2 Hê quả 1 Cho miền D có biên định hương dương gồm hữu hạn đường cong đơn kín và trơn từng khúc. Nêu hàm f liên tục trên D giải tích trong D thì có đạo hàm mọi cấp trong miền D. V n z e z X D f n z -n I f Z dZ 3.5.3 2ni Ị Z-z n 1 b 7 Chứng minh Nêu D là miền đơn liên thì biên 3D là đường cong r định hướng dương đơn kín và trơn từng khúc. Theo công thức 3.4.3 ta có V z D f z 2 7 X Tz dZ s F z Kêt hợp với công thức 3.5.2 suy ra công thức 3.5.3 Nêu D là miền đa liên biên đổi miền D thành miền D1 đơn liên như trong hệ quả 2 Đ3. Sau đó sử dụng kết quả đã biêt cho miền đơn liên tính cộng .
