Đang chuẩn bị nút TẢI XUỐNG, xin hãy chờ
Tải xuống
Tham khảo bài viết 'các bài toán bất đẳng thức hay và khó', khoa học tự nhiên, toán học phục vụ nhu cầu học tập, nghiên cứu và làm việc hiệu quả | Võ Quốc Bá Cẩn www.VSETMATHS.com CÁC BÀI TOÁN BẤT ĐẲNG THỨC HAY VÀ KHÓ Phần 1. Các bài toán sử dụng bất đẳng thức Cauchy Scwharz. I. Giới thiệu tổng quan về bất đẳng thức Cauchy Schwarz. Bất đẳng thức Cauchy Schwarz. Với mọi số thực a1 a2 . an và b1 b2 . bn ta có ab ab ----- ab 2 a 2 a2 - a2 b 2 b2 - b2 1122 n n 12 n 12 n Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi az aj bị bj Vi j 1 n. II. Các bài toán áp dụng. Bài 1. Jack Garfunkel Cho các số không âm a b c chứng minh bất đẳng thức a b c 5Va b c a b b c c a 4 Giải. Sử dụng bất đẳng thức Cauchy Schwarz ta có A2 2 ctjO b J A2 A __ 27a 5a b 9c 7 ct ỵ a b 5a b 9c J A a 2 a 5a b 9c 2 cyc J cyc a A a b 5a b 9c J a 5 a b c 2 2 _ _ _ x 7 a b 5a b 9c J Như thế ta chỉ cần chứng minh a b c 2 a b 5a b 9c J a i A 16 Như điều này hiển nhiên đúng vì 5 16 a A a b c 2 z 1 n x 7 - a b 5a b 9c J 2 ab a b a 9b a - 3b 2 2432 a 3b2 c 8352 a 3bc1 2322 a 4 bc 1230a 2b2 c2 cyc cyc cyc cyc 0 16 a b b c c a 5a b 9c 5b c 9a 5c a 9b Bất đẳng thức được chứng minh xong. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a b c 3 1 0. Bài 2. Võ Quốc Bá Cẩn Cho các số không âm a b c có tổng bằng 1 chứng minh rằng 2 Võ Quốc Bá Cẩn www.V3ETMATHS.com Phạm Thị Hằng -ựa b2 7 b c2 7 c a2 11 5 Giải. Sử dụng bất đẳng thức Cauchy Schwarz ta có A2 ----r y a b Ỳ cyc y í_ _ y y4a 4b c Ỳ cyc a b2 A2 9V a bb 4a 4b c cyc V 4a 4b c y 9 a a b c b2 4a 4b c cyu y 4a 4b c I y - b2 _ U kz 4a 4b c J Như thế ta chỉ cần chứng minh rằng 9y a a b c b 1 Ịặ a b c w 4a 4b c 25 cyc Ta có 163y a4 3003y a2b1 1975y ab3 - 725y a3b 10920y a1 bc VP VT cyc cyc cyc cyc cvc 25 4a 4b c 4b 4c a 4c 4a b r_ . _ . _ A 163 y a 11y a b - 6y a b - 6y a bc A Ỳ c c cyc cyc cyc y 25 4a 4b c 4b 4c a 4c 4a b trong đó A 1210y a2b2 1975y ab 253y a3b 11898y a2bc 0 cyc cyc cyc cyc Ta chứng minh r_ o y a Ỳ c c y a4 11y a 2b2 cyc __ __ __ ya b 12 ya b -ya bc cy J Ta có - 6y a3b - 6y a2bc 0 cyc cyc cyc 6 y a3b-y a2bc 0 Ỳ c c cyc y Ỳ cyc cyc y y a4 cyc -y cyc 2 2 a b 2y a2 -b2 2 cyc 3 Võ Quốc Bá .