Đang chuẩn bị nút TẢI XUỐNG, xin hãy chờ
Tải xuống
oán học là môn khoa học nghiên cứu về các số, cấu trúc, không gian và các phép biến đổi. Nói một cách khác, người ta cho rằng đó là môn học về "hình và số." Theo quan điểm chính thống, nó là môn học nghiên cứu về các cấu trúc trừu tượng định nghĩa từ các tiên đề, bằng cách sử dụng Luận lý học (lôgic) và ký hiệu toán học. Các quan điểm khác của nó được miêu tả trong Triết học toán. Do khả năng ứng dụng rộng rãi trong nhiều khoa học, toán học được mệnh. | Tuyển tập các đề thi Olympic Toán sinh viên toàn quốc 1993-2005 Chương 1 Các đề thi Olympic chính thức 1.1 Olympic năm 1993 1.1.1 Vòng 1 Ngày thứ nhất Câu 1. a Tìm tất cả các ma trận thực X sao cho z t X 2 1 o 0 V b Cho 2n số nguyên ni an 1 bn thỏa mãn điều kiện anbn 0. Đăt 1 1 1 1 2 a bn 2 1 1 2 2 a2bn anbỵ anb2 1 anbnJ Tính I det A . Câu 2. a Cho J x max 2 X arctg X của J x trên R. X ì X2 1 J X E R. Tìm một nguyên hàm b Tính tích phân tt 2 dx J 1 tgx 2 6 1.1. Olympic năm 1993 7 Câu 3. a Cho hàm số J x xác định và có đạo hàm bậc hai liên tục và không đồng nhất bằng không trên bất kỳ đoạn nào của R. Biết rằng đổ thị của hàm số y J x cắt đường thẳng ax by c tại ba điểm phân biệt. Chứng minh rằng tồn tại XQ E R sao cho J o 0 và J x đổi dấu qua X Xo- b Kí hiệu pn x là tập hợp tất cả các đa thức với hệ số thực có bậc không vượt quá n . Cho hai số phân biệt a b E R. Xét ánh xạ J Pỵ x P-2 X xác định theo công thức Vp z e Ps X p p x ữ -p x 6 . i Hỏi có phải là toàn ánh không 11 Tính -x 0 . 1.1.2 Vòng 2 Ngày thứ hai Câu 1. Cho 0 a 1. Chứng minh rằng với mọi a b E c phưong trình z3 - az b 0 có ít nhất một nghiệm thoả mãn điều kiện z a 2 a. Câu 2. Cho 0 X 77 và 2 0 y w. Chứng minh rằng y arctgy x In cosxy 1 y2 . Hỏi khi nào thì xảy ra dấu đẳng thức. Câu 3. Cho p x Ạ const là đa thức với hệ số thực. Chứng minh rằng nếu hệ phương trình ĩ . . . f p i sin tdt 0 0. X f p t cos tdt 0. .0 có nghiệm thực thì số nghiệm thực chỉ có thể là hữu hạn. Câu 4. Cho hai ma trận thực vuông đồng cấp A và B. Giả thiết rằng det A B 0 và det A B 0. Đặt A B M B Aj Chứng minh rằng det M .
