Đang chuẩn bị nút TẢI XUỐNG, xin hãy chờ
Tải xuống
Tài liệu Toán lớp 10: Chủ đề 6 - Một số kỹ thuật sử dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki được biên soạn nhằm hướng dẫn cho các em học sinh áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki (tên gọi chính xác là bất đẳng thức Cauchy – Bunhiacopxki – Schwarz) chứng minh bất đẳng thức, tìm GTLN – GTNN (giá trị lớn nhất – giá trị nhỏ nhất). Hy vọng sẽ giúp ích cho quý thầy cô và các em trong quá trình giảng dạy và học tập của mình. | Chủ đề 6 MỘT SỐ KỸ THUẬT SỬ DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC BUNHIACOPXKI A. Kiến thức cần nhớ 1. Giới thiệu bất đẳng thức Bunhiacopxki Bất đẳng thức Bunhiacopxki có tên gọi chính xác là bất đẳng thức Cauchy Bunhiacopxki Schwarz đây là một bất đẳng thức do ba nhà toán học độc lập phát hiện và đề xuất nó có nhiều ứng dụng trong các lĩnh vực toán học. Ở nước ta để cho phù hợp với chương trình sách giáo khoa trong tài liệu này chúng ta cũng sẽ gọi nó là bất đẳng thức Bunhiacopxki gọi theo tên nhà Toán học người Nga Bunhiacopxki. Đây là một bất đẳng thức cổ điển nổi tiếng và quen thuộc đối với phần lớn học sinh nước ta. Nó ứng dụng rất nhiều trong các bài toán về bất đẳng thức và cực trị. Trong phạm vi chương trình Toán THCS chúng ta cũng chỉ quan tâm đến các trường hợp riêng của bất đẳng thức Bunhiacopxki. 2. Các dạng biểu diễn của bất đẳng thức Bunhiacopxki a. Dạng tổng quát Cho hai dãy số tùy ý a1 a 2 a 3 . a n và b1 b2 b3 . b n . Khi đó ta có b b . b a b a b . a b 2 Dạng 1 a12 a 22 . a 2n 2 1 2 2 2 n 1 1 2 2 n n Dạng 2 a 2 1 a 22 . a b b . b a b a b . a b 2 n 2 1 2 2 2 n 1 1 2 2 n n a1 a 2 a - Dấu đẳng thức xảy ra ở dạng 1 và dạng 2 là . n b1 b2 bn Dạng 3 a 2 1 a 22 . a 2n b 2 1 b22 . b2n a1b1 a 2b2 . a n bn a1 a 2 a - Dấu đẳng thức xảy ra ở dạng 3 là . n 0 b1 b2 bn Dạng 4 Cho hai dãy số tùy ý a1 a 2 . a n và x1 x 2 . x n với x1 x 2 . x n 0 2 a12 a 22 a2 a1 a 2 . a n Khi đó ta có . n x1 x 2 xn x1 x 2 . x n a1 a 2 a - Dấu đẳng thức xảy ra ở dạng 4 là . n 0 x1 x 2 xn Trong các dạng trên thì bất đẳng thức dạng 1 dạng 2 dạng 3 gọi là các bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng cơ bản và bất đẳng thức dạng 4 còn được gọi là bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức. b. Một số dạng đặc biệt n 2 n 3 a x a x 2 2 2 b2 2 y2 ax by 2 b 2 c2 2 y2 z2 ay by cz a b x y ax by 2 2 2 2 a b c x y z ay by cz 2 2 2 2 2 2 a b x y ax by 2 2 2 2 a b c x y z ay by cz 2 2 2 2 2 2 2 2 a 2 b2 a b a 2 b2 c2 a b c x y x y x y z x y z x y 0 x y 0 a b a b c Đẳng thức xẩy ra khi Đẳng thức xẩy ra khi x y x y z B. Một số