Đang chuẩn bị nút TẢI XUỐNG, xin hãy chờ
Tải xuống
Tài liệu cung cấp các kiến thức về giới hạn của dãy số, dãy có giới hạn, giới hạn của hàm số, hàm số liên tục, các kỹ thuật tìm giới hạn. | Chương tv. GIỚI HẠN A. GIỚI HẠN CỦA DÂY SỐ 1. DÃY CÓ GIỚI HẠN 0 ỉ. Đỉnh nghĩa dãy sô giới hạn 0 Định nghĩa Ta nói rằng dãy số u có giới hạn là 0 hay có giới hạn 0 nếu mọi số hạng của dãy đều có giá trị tuyệt đối nhỏ hơn một sô dương nhỏ tuỳ ý cho trước kể từ một số hạng nào đố trố đi. Khi đó ta viết lim urt 0 viết tắt là lim u 0 hoặc limun 0 hoặc un- 0 lí- Nhận xéĩ Dãy số u có giới hạn 0 khi và chỉ khi dãy số lunl có giới hạn 0 2. Một số dãy sớ có giới hạn 0 thường gap Sử dụng định nghĩa người ta chứng minh được rằng a. lim 0 lim-jL 0 lim-ị - ơ n 11 Vn Nói rộng hơn lim - 0 k là sô nguyên dương cho trước Vn b Dãy không đổi un với un 0 có giới hạn 0. c. Nếu Iql 1 thì limqh 0. Các bạn được sử dụng kết quả này khỉ làm bài mà không phải chúng minh. Thí dụ 1. a. lim 3 . 2n b. lim- - -5 . MY A - lim 4 - 0 . 1Y_ . . 3 . 3 lim 4 0 c lim lim I 5 Kn U - 0. . . . . . . lu l v _ ỉ ịnh lý Cho hai dãy số un và vn . Nếu thì limun 0. lim vn 0 VL- . . sin 2n 3 _ Thí dụ 2. Chứng minh lim----------- 0. Lời gỉảỉ Ta có sỉn 2n 3 1 f 1Y . M - 4 và lim 4 5 bJ bJ 5n 0. Theo định lý trên ta có đpcm. 153 2. DÃY CÓ GIỚI HẠN ỉ. Định nghĩa dãy sò giới hạn Xét dãy số uH với UỆỆ 9 co ult - 9 . vn Vn Ta có ĩim un- 9 lim - 0 vn . Ta nói rằng dãy số đã cho có giới hạn là 9. Một cách tổng quát ta có Định nghĩa Ta nói rằng dây số u có giới hạn Ịà số thực L nếu lim ur - L - 0 Khi đó ta viết lim u L viết tắt là lim u1t L hoăc limu - L hoặc u L. Thí dụ 3 Chứng minh 3.2n - 1 _ . sinicn 4Vn a. lim--- - - 3 b lim-----77 ----- 4 2 ựĩ c. lim u c với u - c c là hàng số . Lời giải _ . . f 3.2n -lV ì . í 1Y . 3.2n - Hì _ a. Ta có lim J 3 ìim-ị 0 co lim J 0 V 2n J l 2 2n b. Ta có lim -4 sinĩtn Ta có sin ĩtn VT l . 1- 1 i s nitn _n và lim 77 - s 0 lim - 0 Vn Vn Vn co lim 4 đpcm n c. Ta có lim u - c - tin c -c limO 0 o lím uỆ1 c đpcm . 2. Một sô định lý Định lý i Giả sử lim u - L. Khi đó a. limluj - IU và lim ỰŨ7 Vl . b. Nếu u ằ 0 với mọi n thì L 0 và limỰŨ7 Vũ . Định lý 2 Giả sử lim un L lim vh M và c là hằng sổ. .
