Đang chuẩn bị nút TẢI XUỐNG, xin hãy chờ
Tải xuống
Trong báo cáo này, các tác giả trình bày một tổng quan ngắn về lý thuyết phân phối giá trị các hàm phân hình, trên trường phức và trường số p-adic. Ngoài ra, báo cáo cũng giới thiệu một số kết quả nhận được trong những năm gần đây, tập trung vào những bài toán như sự xác định hàm bởi nghịch ảnh, giả thuyết Hayman về toán tử vi phân xác định bởi hàm phân hình. | Kỷ yếu công trình khoa học 2014 – Phần I LÝ THUYẾT PHÂN PHỐI GIÁ TRỊ TRONG TRƯỜNG HỢP KHÔNG ÁCSIMÉT GS. TSKH. VS Hà Huy Khoái Khoa Toán – Tin, Trường Đại học Thăng Long Tóm tắt: Trong báo cáo này, chúng tôi trình bày một tổng quan ngắn về lý thuyết phân phối giá trị các hàm phân hình, trên trường phức và trường số p-adic. Ngoài ra, báo cáo cũng giới thiệu một số kết quả nhận được trong những năm gần đây, tập trung vào những bài toán như sự xác định hàm bởi nghịch ảnh, giả thuyết Hayman về toán tử vi phân xác định bởi hàm phân hình. I. Lý thuyết phân phối giá trị các hàm phân hình. Ra đời vào khoảng những năm 1930-40, lý thuyết phân phối giá trị các hàm phân hình được đánh giá là một trong những lý thuyết sâu sắc nhất của giải tích toán học thế kỷ 20. Tư tưởng chính của nó bắt đầu từ Định lý cơ bản của đại số: Định lý: Giả sử f(z) = aozn+ a1zn-1+ + an là đa thức hệ số phức, bậc ≥ 1. Khi đó với mọi giá trị phức a, phương trình f(z) = a có đúng n nghiệm (kể cả bội). Câu hỏi tự nhiên đặt ra là: nếu f (z) là hàm chỉnh hình, hay hàm phân hình, thì có thể nói gì về số nghiệm của phương trình f( z) = a ? Định lý cơ bản của đại số nói rằng, số nghiệm của phương trình đúng bằng bậc của đa thức. Tuy nhiên trong trường hợp hàm chỉnh hình hay hàm phân hình, khái niệm bậc không tồn tại nữa. Để mở rộng sang trường hợp này, ta cần nhìn nhận định lý cơ bản của đại số như là sự khẳng định mối liên quan giữa số nghiệm của phương trình với cấp tăng của đa thức. Như vậy, đối với hàm chỉnh hình hay hàm phân hình f(z), cần xét mối liên quan giữa số nghiệm của phương trình f(z)= a trong hình tròn bán kính r với cấp tăng của hàm. Kết quả quan trọng đầu tiên theo hướng trên được cho bởi định lý Hadamard: Định lý (Hadamard). Giả sử f(z) là hàm chỉnh hình trên toàn mặt phẳng phức, a là một giá trị phức tùy ý. Khi đó ta có {Số nghiệm của phương trình f(z)=a, |z|≤ r} ≤ log max {|f(z)|, |z|≤ r} + O(1), trong đó O(1) là đại lượng giới nội khi r→∞. Như vậy, định lý Hadamard cho một tương tự của .
