Đang chuẩn bị nút TẢI XUỐNG, xin hãy chờ
Tải xuống
Bài báo giới thiệu về cấu trúc của iđêan nguyên tố bất kì trong vành đa thức một biến và iđêan nguyên tố đơn thức trong vành đa thức nhiều biến. Mời các bạn tham khao! | TẠP CHÍ KHOA HỌC, TRƯỜNG ĐẠI HỌC HỒNG ĐỨC - SỐ 29. 2016 CẤU TRÚC CỦA IĐÊAN NGUYÊN TỐ CỦA VÀNH ĐA THỨC Phạm Thị Bích Hà1 TÓM TẮT Bài báo giới thiệu về cấu trúc của iđêan nguyên tố bất kì trong vành đa thức một biến và iđêan nguyên tố đơn thức trong vành đa thức nhiều biến. Từ khóa: Vành, iđêan nguyên tố, vành đa thức. 1. ĐẶT VẤN ĐỀ Cho R là vành giao hoán có đơn vị. Một iđêan I thực sự của R là iđêan nguyên tố nếu với mọi a , b R và ab I suy ra a I hoặc b I . Việc tìm hiểu tính chất và cấu trúc của iđêan nguyên tố của một vành cho trước được nhiều người quan tâm nghiên cứu. Các vấn đề này được trình bày trong [1], [2], [3], [4] và [5]. Mục đích chính của bài báo này là hệ thống lại và trình bày chi tiết các chứng minh cho việc mô tả cấu trúc của iđêan nguyên tố trong vành đa thức. Các kết quả này được trình bày trong [2], [3], [4] và [5] dưới dạng chú ý và bài tập. Ngoài phần giới thiệu, bài báo chia thành hai mục. Mục 2 mô tả cấu trúc của iđêan nguyên tố bất kì trong vành đa thức một biến (Định lý 2.2). Mục 3 mô tả cấu trúc của iđêan nguyên tố đơn thức trong vành đa thức nhiều biến (Định lý 3.4). 2. VÀNH ĐA THỨC MỘT BIẾN Trong mục này, chúng ta luôn giả thiết K x là vành đa thức biến x trên trường K . Trước hết, ta nhắc lại một kết quả quen biết sau: Mệnh đề 2.1. Vành K x là vành các iđêan chính, nghĩa là mọi iđêan đều sinh bởi một đa thức. Dựa vào mệnh đề trên ta có thể chứng minh được kết quả chính của mục này như sau: Định lý 2.2. Giả sử I là iđêan của vành K x . Khi đó, I là iđêan nguyên tố khi và chỉ khi I q( x) , trong đó q ( x ) là đa thức bất khả quy hoặc đa thức 0. 1 Giảng viên khoa Khoa học Tự nhiên, Trường Đại học Hồng Đức 78 TẠP CHÍ KHOA HỌC, TRƯỜNG ĐẠI HỌC HỒNG ĐỨC - SỐ 29. 2016 Chứng minh: " " Nếu I 0 khi đó ta có I (0). Nếu I 0 , theo Mệnh đề 2.1 ta có thể viết I q( x) , trong đó q x 0. Giả sử q x không bất khả quy, nghĩa là tồn tại hai đa thức q1 x và q2 x sao cho q x q1 x
