Đang chuẩn bị nút TẢI XUỐNG, xin hãy chờ
Tải xuống
Giáo trình Hàm biến phức: Phần 2 - Hồ Công Xuân Vũ Ý cung cấp cho các bạn những nội dung kiến thức về số phức và các phép toán, Modulus và bất đẳng thức tam giác, Argument và căn bậc n của số phức, dãy và chuỗi số phức, dãy hàm và chuỗi hàm, chuỗi lũy thừa, hàm giải tích, một số hàm sơ cấp khác và phép biến hình, lý thuyết tích phân, Hàm điều hòa và hàm điều hòa dưới. . | 188 Chương VI Hàm điều hòa và hàm điều hòa dưới 1 Hàm điều hòa Khái niệm hàm điều hòa 1.1 Định nghĩa. Hàm thực u x y xác định trên miền D và có đạo hàm riêng cấp hai liên tục và thỏa điều kiện u XX x y u ýy x y 0 vói mọi x y G D được gọi là hàm điều hòa. 1.2 Thí dụ. Hàm u x y x2 xy y2 là hàm điều hòa trên R2. Thật vậy uX x y 2x y uXx x y 2 và u y x y x 2y u y x y 2 suy ra uXx x y u ýy x y 0. 1.3 Cho hàm f z u x y iv x y giải tích trên D. Theo Hệ quả 5.13 ta có các hàm u x y và v x y có các đạo hàm riêng mọi cấp liên tục. Hơn nữa theo Định lý Cauchy-Riemann 1.10 trang 80 ta có mối liên hệ giữa hai hàm u x y và v x y trên D như sau u A v A u A v A dx x y - x y dy x y dx x y suy ra Hồ Công Xuân Vũ Ý 1 Hàm điều hòa 189 z x y vy x x y uyy x y -VXy x y vXx x y uyxẮx yy vyy x y uXy x y - Từ đó ta nhận thấy cả hai hàm u x y và v x y đều là hàm điều hòa. Do hai hàm u và v có liên hệ vói nhau nên ta có khái niệm sau. 1.4 Định nghĩa. Cho hai hàm điều hòa u và v trên D. Ta nói v là hàm liên hợp điều hòa của u nếu thỏa điều kiện .A A dv A A dv A A _ r-A 1-5 dx x y dy x y dy x y -dx x y v x y GD- 1.6 Thí dụ. Theo thí dụ trên ta biết rằng u x y x2 xy y2 là hàm điều hòa trên R2. Bây giờ ta tìm hàm liên hợp điều hòa v x y của u x y . Theo điều kiện 1.5 ta có v y x y 2x y vX x y 2y x- Từ phương trình thứ nhất ta suy ra được v x y 2xy y- g x cho x2. - nên v x x y 2y g x . Vậy g x x hay g x Xy C. Suy ra .2 .2 v x y 2xy Y x C. 1.7 Nhận xét. Theo kết quả trên ta có nếu hàm f z u x y iv x y giải tích trên D thì v x y là hàm điều hòa liên hợp của hàm u x y . Hơn nữa chiều ngược lại cũng đúng cho nên ta có kết quả ở định lý sau. 1.8 Định lý. Hàm f z u x y iv x y giải tích trên miền D khi và chỉ khi v x y là hàm liên hợp điều hòa của u x y trên D. Chứng minh. Ta chỉ cần chứng mình chiều ngược của định lý. Giả sử v x y là hàm liên hợp điều hòa của u x y trên D. Khi đó cả hai hàm u x y và v x y là các hàm điều hòa nên chúng có đạo hàm riêng cấp hai liên tục trên D cho nên chúng có đạo hàm .