Đang chuẩn bị nút TẢI XUỐNG, xin hãy chờ
Tải xuống
Định lý Cho f ∈ C(H, 3)∩ B(D, 3), g ∈ C(D, 3)∩ B(D, 3), h ∈ C(3+, 3)∩ B(3+, 3) thoả m n f(0, t) = 0 v g(0) = 0 B i toán SP1 có nghiệm duy nhất v ổn định xác định theo công thức (8.3.3)Nhận xét Ph−ơng pháp trên có thể sử dụng để giải các b i toán giả Cauchy khác. | ương 8. Phương Trình Truyền Nhiệt c r_ x c -x 2 x 2 t z. _z x2 u x t e 2 -e 4 t di xj X-àdT 2a4n 0 t J J0 T3 2 j dT j f t -T W 4a2 T x 4a2T di 8.3.3 e e 0 0 T Đỉnh lý Cho f e C H 3 n B D 3 g e C D 3 n B D 3 h e C 3 3 n B 3 3 thoả mãn f 0 t 0 và g 0 0 Bài toán SP1 có nghiệm duy nhất và ổn định xác định theo công thức 8.3.3 Nhân xét Phương pháp trên có thể sử dụng để giải các bài toán giả Cauchy khác. Đ4. Bài toán hỗn hợp thuần nhất Bài toán HP1a Cho các miền D 0 l H D X 0 T và hàm g e C D 3 Tìm hàm u e C H 3 thoả mãn phương trình truyền nhiệt du 2d2u a TTT với x t e H dt dx2 điều kiên ban đầu u x 0 g x và điều kiện biên u 0 t 0 u l t 0 8.4.1 8.4.2 8.4.3 Tìm nghiệm của bài toán HP1a dạng tách biến u x t X x T t Thế vào phương trình 8.4.1 và điều kiện biên 8.4.3 đưa về hệ phương trình vi phân X x ÀX x 0 8.4.4 T t Àa2T t 0 8.4.5 X 0 X l 0 với À e 3 8.4.6 Lâp luân tương tự như bài toán HH1a tìm nghiệm riêng không tầm thường của hệ phương trình 8.4.4 và 8.4.6 nhân được họ nghiệm riêng trực giao trên đoạn 0 l kn ckn Xk x Atsin- -x với Ak e 3 và Àk 1 -1 k e z Thay vào phương trình 8.4.5 tìm được họ nghiệm riêng độc lâp Trang 140 Giáo Trình Toán Chuyên Đề Chương 8. Phương Trình Truyền Nhiệt ỉlS S 2 kna ì .11 t Tk t Bke k 1 với Bk e 3 k e z Suy ra họ nghiệm riêng độc lập của bài toán HP1 2 uk x t Xk x Tk t ake x với ak AkBk k e z Tìm nghiệm tổng quát của bài toán HP1 dạng chuỗi hàm -fLn ì t kn u x t 2uk x t 2ake k l sin x k 1 k 1 l Thay vào điều kiện ban đầu 8.4.2 kn u x 0 2 ak sin x g x k 1 l Nếu hàm g có thể khai triển thành chuỗi Fourier thì ak 2 J g x sinkn xdx l 0 l 8.4.7 8.4.8 Đỉnh lý Cho hàm g e C1 D 3 thoả mãn g 0 g l 0. Chuỗi hàm 8.4.7 với các hệ số ak tính theo công thức 8.4.8 là nghiệm duy nhất và ổn định của bài toán HP1a. Chứng minh Hàm g theo giả thiết thoả mãn điều kiện Diriclet và do đó khai triển được thành chuỗi Fourier hội tụ đều trên đoạn 0 1 . Do đó chuỗi hàm 8.4.7 với các hệ số ak tính theo công thức 8.4.8 là hội tụ đều và có thể đạo hàm từng từ theo x