Đang chuẩn bị nút TẢI XUỐNG, xin hãy chờ
Tải xuống
Tham khảo tài liệu 'một số phương pháp làm "chặn" bđt', tài liệu phổ thông phục vụ nhu cầu học tập, nghiên cứu và làm việc hiệu quả | Một phương pháp làm chặt bất ĐẲNG THỨC Trịnh Đào Chiến Sở Giáo dục và Đào tạo Gia Lai Bất đẳng thức là một trong những nội dung quan trọng trong chương trình toán phổ thông. Việc sáng tạo các bất đẳng thức là một việc làm cần thiết trong quá trình dạy và học toán. Dưới đây là một trong những phương pháp sáng tạo đó phương pháp làm chặt bất đẳng thức. Giả sử ta có bất đẳng thức dạng A B. Nếu có c sao cho A c B thì ta nói rằng bất đẳng thức thứ nhất đã được làm chặt hơn bởi bất đẳng thức thứ hai. Điều này đưược tươưng tự đối với dạng bất đẳng thức Trước hết ta nhắc lại những định nghĩa sau về hàm số lồi lõm trong chương trình toán phổ thông Định nghĩa 1. Cho hàm số f x xấc định trên khoảng a b . - Hàm số f x được gọi là lồi trên khoảng đó nếu với mọi X X2 a ò ta đều có 1 2 2 gỊ X2 2 f V 2 Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi Xi a 2- Hàm số x được gọi là lõm trên khoảng đó nếu với mọi Xỵ X2 G a b ta đều có 2 1 x2 j Xị x2 2 2 ỉ Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi Xi X2- Từ đồ thị của các hàm số lồi lõm ta thấy rằng có thể làm chặt hơn nữa các bất đẳng thức 1 và 2 bởi bất đẳng thức dưới đây chẳng hạn Oi f x2 f xỊ f x2 -e Xi x2 2 2 2 3 39 với e dương và đủ nhỏ. Cụ thể hơn ta có định lí sau Định lý 1. Cho hàm số f x xác định và liên tục trên khoảng a b . Giả sử rằng f x 0 với mọi X G ữ b . Thế thì với xỵ X2 E a b xác định trước và X1 X2 ta có 1 f x2 f xi e f x2 - e trong đó 0 6 X2 X1. Chứng minh a Nếu 0 e 372 2 X1 thì X1 X1 4- e X2 e X2- Theo Định lý Lagrange thì xi e - xi ới e với 6 1 e xi X1 e a 2 - f x2 - e ớ2 e với 02 e x2 - e x2 . Vì ỚI Ớ2 và x 0 nên 01 ỡ2 - Mặt khác do Ễ ỳ 0 nên z2 - 2 - e - xi f xi e - a i hay a i 2 f xỵ e x2 - e . b Nếu X2 Xỉ e X2 Xi thì Xi X2 6 c Xi e X2- Theo Định lý Lagrange thì 2 - e - xi ớ3 x2 - X1 - e với 03 e xi x2 - e - f xi - e ớ4 x2 - X1 - e với ớ4 e xi e x2 . Vì 03 4 và f x 0 nên 03 ớ4 . Mặt khác do X2 Xi e ỷ 0 nên 2 - 2 1 e - a i Ĩ X2 - e - 1 hay zi 2 f xi e f x2 - e . Định lý được chứng minh. 40 Tương tự ta có kết quả sau Định lý 2. .
